Odwzorowanie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 18:03

Dane jest odwzorowanie liniowe: \(\displaystyle{ A: R_2 * \rightarrow R_2 *}\) (gdzie symbol \(\displaystyle{ R_2 *}\)oznacza przestrzeń wielomianów st co najwyżej drugiego nad \(\displaystyle{ R}\) ), zadane wzorem:

\(\displaystyle{ A(w)(x)=w'(x)+w(1)x}\)

Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ (1, x, x^2)}\) oraz jego obraz i jądro.

Moim problemem jest głównie zrozumienie zadanego wzoru. Dlaczego czasem x jest w nawiasie a czasem nie i co oznacza tutaj w' ??

Proszę o pomoc...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 18:08

\(\displaystyle{ w'(x)}\) to pochodna, \(\displaystyle{ w(1)}\) to wartość w jedynce, a \(\displaystyle{ x}\) to zmienna. Na przykład dla \(\displaystyle{ w(x)=2x^2+3x+1}\) mamy:
\(\displaystyle{ w'(x)=4x+3\\ w(1)=6\\ A(w)(x)= 4x+3 + 6\cdot x = 10x +3}\)

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 18:55

Czy w tym przypadku macierz odwzorowania wyjdzie:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&2&1\end{array}\right]}\) ??

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 18:57

Nie.

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 19:01

to w takim razie jak to policzyć? widziałam tu podobne przykłady ale i tak nic nie rozumiem...

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 19:01

Sprawdź na co przechodzą wektory bazowe w tym odwzorowaniu.

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 19:03

Czyli?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 19:04

Wektory bazowe to \(\displaystyle{ w_1=1, w_2= x, w_3=x^2}\). Sprawdź jaka jest wartość przekształcenia na tych wielomianach.

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 19:07

Mamy \(\displaystyle{ A(w)(x)=w'(x)+w(1)x}\)
i dla \(\displaystyle{ w_1=1}\) będzie \(\displaystyle{ A(w)(1)=w'(1)+w(1)1}\) ?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 19:10

Nie. Wyżej przecież jest przykład jak działa odwzorowanie \(\displaystyle{ A}\), ale skoro ciągle nie jest to jasne, to może łatwiej będzie Ci to zobaczyć na ogólnym wzorze:
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c \longmapsto (2ax+b) + (a+b+c)\cdot x}\)

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 19:11

właśnie na to wpadłam... to kombinuję dalej:)

-- 31 sty 2012, o 19:19 --

mam nadzieję, że moja dalsze rozumowanie jest dobre.

\(\displaystyle{ A(w)(1)=3a+2b+c}\)
\(\displaystyle{ A(w)(x)=3ax+bx+cx+b}\)
\(\displaystyle{ A(w)(x^2)=3ax^2+bx^2+cx^2+b}\)

Czy tak?-- 31 sty 2012, o 19:21 --Czyli macierz będzie wyglądała tak:


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3a+2b+c&0&0\\b&3a+b+c&0\\b&0&3a+b+c\end{array}\right]}\) ?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 19:57

Zupełnie nie. Tam nie ma prawa być żadnych \(\displaystyle{ a,b,c}\)!

Parę postów wyżej był wielomian \(\displaystyle{ 2x^2+3x+1}\), czyli taki wielomian dla którego \(\displaystyle{ a=2,b=3,c=1}\). Kluczowa rzecz jaka jest do zrobienia, to sprawdzenie jaka jest wartość przekształcenia na wielomianach bazowych. Na przykład dla wielomianu \(\displaystyle{ w_1(x)=1}\) mamy \(\displaystyle{ a=0,b=0, c=1}\). Jakie więc są wartości przekształcenia na wielomianach bazowych?

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 20:04

w takim razie w ogóle tego nie rozumiem...
pokaż mi proszę jak należ to rozwiązać.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Odwzorowanie liniowe

Post autor: » 31 sty 2012, o 20:07

Skoro
\(\displaystyle{ ax^2+bx+c \longmapsto (2ax+b) + (a+b+c)\cdot x}\)
to:
\(\displaystyle{ 1=0\cdot x^2+0\cdot x+1 \longmapsto (2\cdot 0 \cdot x+0) + (0+0+1)\cdot x =x}\)
czyli wektor (wielomian) \(\displaystyle{ 1}\) przechodzi na wektor (wielomian) \(\displaystyle{ x}\).

Podobnie dla dwóch pozostałych wektorów bazowych.

Q.

novaline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 20 sty 2012, o 22:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Odwzorowanie liniowe

Post autor: novaline » 31 sty 2012, o 20:13

czy \(\displaystyle{ w_2(x)=x}\) i \(\displaystyle{ a=0, b=1, c=0}\)?

i dalej \(\displaystyle{ x=0 \cdot x^2+1 \cdot x+0 \cdot 1 \rightarrow (2 \cdot 0 \cdot x + 1) + (0+1+0)\cdotx = 1+x}\)??

ODPOWIEDZ