Chcę macierz \(\displaystyle{ A}\) sprowadzić do postaci z twierdzenia Sylwestera (tj. \(\displaystyle{ diag[I_\pi, I_\upsilon, O_\epsilon]}\)). Czyli do takiej, że na przekątnej od górnego lewego rogu macierzy są 1 do pewnego miejsca, potem \(\displaystyle{ -1}\) do pewnego miejsca a następnie zera. Poza przekątną są zera. Jest to potrzebne m.in. do dokładnego badania określoności formy hermitowskiej. Wiem, że żeby sprowadzić formę do takiej postaci, należy wykonywać jednocześnie operacje elementarne na kolumnach, jak i na wierszach. Teraz moje pytanie - w jakiej kolejności wykonywać te operacje?
Tj. czy np. najpierw przeprowadzam \(\displaystyle{ w_1 := w_1 + w_2}\) a następnie od macierzy wynikowej robię \(\displaystyle{ k_1 := k_1 + k_2}\)? Czy może przeprowadzam te operacje w kolejności wiersz, kolumna, tyle że nie od macierzy wynikowej, tylko wyjściowej? Czy kolejność ma być taka - moja operacja, potem operacja na wierszu/kolumnie (w zależności od tego co ja zrobiłem)? Czy może odwrotnie?
Postać macierzy z tw. Sylwestera
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Postać macierzy z tw. Sylwestera
powinno być: \(\displaystyle{ diag[I_\pi, -I_\upsilon, O_\epsilon]}\)
teraz co do pytania, wiemy że daną macierz \(\displaystyle{ A}\) da się rozłożyć w ten sposób: \(\displaystyle{ C^H\cdot A\cdot C = diag[I_\pi, -I_\upsilon, O_\epsilon]}\).. a robimy to w ten sposób: jesli wykonujemy operację na wierszach, to następnie musimy wykonać operację do niej sprzężoną na kolumnach.. w tym sensie kolejność ma znaczenie.. jednak nie ma znaczenia czy wykonasz najpierw na wierszach czy kolumnach.. bezpośrednio po tym masz wykonać sprzężoną operację na kolumnach (jeśli zacząłeś od wierszy) albo na wierszach (jeśli zacząłeś na kolumnach).. i w tym sensie kolejność nie ma znaczenia..
przy okazji, macierz \(\displaystyle{ C}\) jest bardzo łatwo znaleźć.. zauważ, że operacja elementarna na wierszach macierzy to w istocie pomnożenie danej macierzy z lewej strony przez odpowiednią macierz operacji elementarnej.. na kolumnach na odwrót - pomnożenie z prawej strony przez odpowiednią macierz operacji elementarnej.. w ten sposób otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C^H \cdot A \cdot C= (W_n \cdot W_{n-1} \cdot ... \cdot W_2 \cdot W_1) \cdot A \cdot (K_1 \cdot K_2 \cdot ... \cdot K_{n-1}\cdot K_{n})}\) taki zapis chyba nalepiej obrazuje te operacje, kolejność ich wykonywania..
teraz co do pytania, wiemy że daną macierz \(\displaystyle{ A}\) da się rozłożyć w ten sposób: \(\displaystyle{ C^H\cdot A\cdot C = diag[I_\pi, -I_\upsilon, O_\epsilon]}\).. a robimy to w ten sposób: jesli wykonujemy operację na wierszach, to następnie musimy wykonać operację do niej sprzężoną na kolumnach.. w tym sensie kolejność ma znaczenie.. jednak nie ma znaczenia czy wykonasz najpierw na wierszach czy kolumnach.. bezpośrednio po tym masz wykonać sprzężoną operację na kolumnach (jeśli zacząłeś od wierszy) albo na wierszach (jeśli zacząłeś na kolumnach).. i w tym sensie kolejność nie ma znaczenia..
przy okazji, macierz \(\displaystyle{ C}\) jest bardzo łatwo znaleźć.. zauważ, że operacja elementarna na wierszach macierzy to w istocie pomnożenie danej macierzy z lewej strony przez odpowiednią macierz operacji elementarnej.. na kolumnach na odwrót - pomnożenie z prawej strony przez odpowiednią macierz operacji elementarnej.. w ten sposób otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C^H \cdot A \cdot C= (W_n \cdot W_{n-1} \cdot ... \cdot W_2 \cdot W_1) \cdot A \cdot (K_1 \cdot K_2 \cdot ... \cdot K_{n-1}\cdot K_{n})}\) taki zapis chyba nalepiej obrazuje te operacje, kolejność ich wykonywania..