Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.

[halinow1]

a) Dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, F(x,y,z)= (x+y, x+y, x+3y-z)}\)
Znaleźć bazę i wymiar \(\displaystyle{ Ker\, F}\) oraz \(\displaystyle{ Im\, F}\)

b) \(\displaystyle{ G: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4}\)

\(\displaystyle{ G(x,y,z) = (x-y+z,x+y-z,x,y)}\)
Czy jest to odwzorowanie liniowe? Podać \(\displaystyle{ Ker\, G}\) i \(\displaystyle{ Im\, G}\).

[Tomek_Z]

a) Znajdź najpierw ogólne postaci jądra i obrazu. Bazę już potem łatwo znaleźć.
b) Wprost z definicji.

[bemekw]

Jest jeden prosty sposób na znalezienie szukanych

Niech \(\displaystyle{ F^T = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&3\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)

Teraz tworzymy macierz takiej postaci:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&1&3\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)

Teraz za pomocą operacji na wierszach, "prawą część" naszej macierzy sprowadzamy do postaci trójkątnej górnej:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&-2&0&0&0\\0&1&-3&1&1&0\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)

Teraz łatwo widać, że

\(\displaystyle{ \ker F = span([1,-1,-2]^T)}\) natomiast \(\displaystyle{ im(F) = span([1,1,0]^T, [0,0,-1]^T)}\).

Sposób znaleziony gdzieś tu na forum, nie ręcze za jego poprawność, ale z pewnością ktoś potwierdzi, czy jest dobry, czy zły

[Tomek_Z]

No to coś jest nie tak w tym sposobie, bo licząc z definicji \(\displaystyle{ ker F = linleft{ [1,-1,-2
ight}}\). Albo masz błąd przy przekształcaniu tej macierzy.

[bemekw]

Dzięki za uwagę - poprawione. Było niedoczytanie moje ze źródła - trzeba było wziąć \(\displaystyle{ F^T}\) gdzie \(\displaystyle{ F}\) to macierz przekształcenia w bazie standardowej, a nie samo \(\displaystyle{ F}\).