a) Dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, F(x,y,z)= (x+y, x+y, x+3y-z)}\)
Znaleźć bazę i wymiar \(\displaystyle{ Ker\, F}\) oraz \(\displaystyle{ Im\, F}\)
b) \(\displaystyle{ G: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4}\)
\(\displaystyle{ G(x,y,z) = (x-y+z,x+y-z,x,y)}\)
Czy jest to odwzorowanie liniowe? Podać \(\displaystyle{ Ker\, G}\) i \(\displaystyle{ Im\, G}\).
Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 19:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.
Ostatnio zmieniony 31 sty 2012, o 14:58 przez miki999, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.
Jest jeden prosty sposób na znalezienie szukanych
Niech \(\displaystyle{ F^T = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&3\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz tworzymy macierz takiej postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&1&3\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz za pomocą operacji na wierszach, "prawą część" naszej macierzy sprowadzamy do postaci trójkątnej górnej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&-2&0&0&0\\0&1&-3&1&1&0\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz łatwo widać, że
\(\displaystyle{ \ker F = span([1,-1,-2]^T)}\) natomiast \(\displaystyle{ im(F) = span([1,1,0]^T, [0,0,-1]^T)}\).
Sposób znaleziony gdzieś tu na forum, nie ręcze za jego poprawność, ale z pewnością ktoś potwierdzi, czy jest dobry, czy zły
Niech \(\displaystyle{ F^T = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&3\\0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz tworzymy macierz takiej postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&1&3\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz za pomocą operacji na wierszach, "prawą część" naszej macierzy sprowadzamy do postaci trójkątnej górnej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&-2&0&0&0\\0&1&-3&1&1&0\\0&0&1&0&0&-1\end{bmatrix}}\)
Teraz łatwo widać, że
\(\displaystyle{ \ker F = span([1,-1,-2]^T)}\) natomiast \(\displaystyle{ im(F) = span([1,1,0]^T, [0,0,-1]^T)}\).
Sposób znaleziony gdzieś tu na forum, nie ręcze za jego poprawność, ale z pewnością ktoś potwierdzi, czy jest dobry, czy zły
Ostatnio zmieniony 31 sty 2012, o 22:14 przez bemekw, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.
No to coś jest nie tak w tym sposobie, bo licząc z definicji \(\displaystyle{ ker F = linleft{ [1,-1,-2
ight}}\). Albo masz błąd przy przekształcaniu tej macierzy.
ight}}\). Albo masz błąd przy przekształcaniu tej macierzy.
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Znaleźć bazę i wymiar. Odwzorowanie.
Dzięki za uwagę - poprawione. Było niedoczytanie moje ze źródła - trzeba było wziąć \(\displaystyle{ F^T}\) gdzie \(\displaystyle{ F}\) to macierz przekształcenia w bazie standardowej, a nie samo \(\displaystyle{ F}\).