Mam macierz A powiedzmy taka \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\2&6&4\\2&1&-1\end{array}\right]}\)
I teraz chce wyznaczyc bazy czterech podprzestrzeni zwiazanych z ta macierza. Zacznijmy od przestrzeni zerowej, więc robie tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\2&6&4\\2&1&-1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
Macierz A moge w sumie doprowadzić do postaci: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\0&0&0\\0&-5&-5\end{array}\right]}\)
No i wychodzi nam:
\(\displaystyle{ x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ - 5x_{2} - 5x_{3} = 0}\)
No i teraz mam problem... jak wyznaczyć wektory tej bazy? Wiem, że musze wyznaczyć elementy osiowe i wolne zmienne, ale jak to zrobić?
Co do bazy podprzestrzeni kolumnowej (wierszowej) to wystarczy, że określę rząd macierzy, a następnie wybieram tyle wektorow liniowo niezależnych, ile stanowi rząd macierzy, i one stanową bazę, tak?-- 31 sty 2012, o 16:54 --Nikt nie moze mi pomoc..? Prosze, przeciez to sa podstawowe rzeczy, musze to zrozumiec...
Baza przestrzeni zerowej macierzy
-
patryk007
- Użytkownik
- Posty: 427
- Rejestracja: 1 kwie 2006, o 22:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Baza przestrzeni zerowej macierzy
Macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\0&0&0\\0&-5&-5\end{array}\right]}\) możesz jeszcze przecież uprościć (dzieląc przez \(\displaystyle{ -5}\) trzeci wiersz):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\). Dalej odejmując odpowiednie wiersze mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\) więc \(\displaystyle{ x_1=-x_2}\) i \(\displaystyle{ x_2=-x_3}\).
Teraz jeśli chcesz znać wektor bazy rozwiązań układu równań zapisanego macierzowo (tak jak tam wyżej zapisałeś), to bierzesz dowolne, nietrywialne \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) (czyli niezerowe) takie, które spełniają te dwie równości (np. \(\displaystyle{ x_1=1,\;x_2=-1,\;x_3=1}\)).
Ale nie wiem czy o to chodziło w zadaniu. Stwierdzenie I teraz chce wyznaczyc bazy czterech podprzestrzeni zwiazanych z ta macierza wskazuje na to, że nie bardzo wiesz o co chodzi (nie to żebym ja wiedział ).
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&2\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\). Dalej odejmując odpowiednie wiersze mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\) więc \(\displaystyle{ x_1=-x_2}\) i \(\displaystyle{ x_2=-x_3}\).
Teraz jeśli chcesz znać wektor bazy rozwiązań układu równań zapisanego macierzowo (tak jak tam wyżej zapisałeś), to bierzesz dowolne, nietrywialne \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) (czyli niezerowe) takie, które spełniają te dwie równości (np. \(\displaystyle{ x_1=1,\;x_2=-1,\;x_3=1}\)).
Ale nie wiem czy o to chodziło w zadaniu. Stwierdzenie I teraz chce wyznaczyc bazy czterech podprzestrzeni zwiazanych z ta macierza wskazuje na to, że nie bardzo wiesz o co chodzi (nie to żebym ja wiedział ).
-
muraf
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 01:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Baza przestrzeni zerowej macierzy
No fakt, nie do konca wiem o co chodzi bo na zajecia nie chodzilem i mam tylko notatki, ale czesto robilismy zadania o tresci "wyznacz bazy czterech podprzestrzeni zwiazanych z macierza A". Chodzi tu o baze kolumnową \(\displaystyle{ C(A)}\), baze wierszowa \(\displaystyle{ C(A^{T})}\), baze podprzestrzeni zerowej \(\displaystyle{ N(A)}\) i baze podprzestrzeni lewej zerowej \(\displaystyle{ N(A^{T})}\)
Ale wydaje mi sie, ze nie o to chodzilo, zeby wyznaczyc dowolny wektor spelniajacy to rownanie, tylko bardziej w ten sposob:
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=-x_{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\) to elementy osiowe, a \(\displaystyle{ x_{2}}\) to wolna zmienna, ktora jest tylko jedna, dlatego baze tej podprzestrzeni stanowi jeden wektor.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = x_{2} \left[\begin{array}{c}-1\\1\\-1\end{array}\right]}\)
Czyli ta baze stanowi wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\1\\-1\end{array}\right]}\)
Nie wiem dlaczego tak, po prostu robie wedlug analogicznych przykladow, wiec jakby ktos rozumial bardziej, to niech sie podzieli swoja wiedza
Ale wydaje mi sie, ze nie o to chodzilo, zeby wyznaczyc dowolny wektor spelniajacy to rownanie, tylko bardziej w ten sposob:
\(\displaystyle{ x_{1}=-x_{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{3}=-x_{2}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\) to elementy osiowe, a \(\displaystyle{ x_{2}}\) to wolna zmienna, ktora jest tylko jedna, dlatego baze tej podprzestrzeni stanowi jeden wektor.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = x_{2} \left[\begin{array}{c}-1\\1\\-1\end{array}\right]}\)
Czyli ta baze stanowi wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}-1\\1\\-1\end{array}\right]}\)
Nie wiem dlaczego tak, po prostu robie wedlug analogicznych przykladow, wiec jakby ktos rozumial bardziej, to niech sie podzieli swoja wiedza