Dana jest macierz kwadratowa A wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 3}\) . Wiadomo, że wektory \(\displaystyle{ \left(1,1,0 \right) i \left( 0,1,1\right)}\)są wektorami własnymi macierzy A. Dowieść, że wówczas albo obydwa wektory \(\displaystyle{ \left( 1,3,2\right) i \left( 2,5,3\right)}\) są wektorami własnymi macierzy A, albo żaden z nich.
Nie mam pomysłu na te zadanie. Proszę o pomoc
Wektory własne
-
Piotr Dyszewski
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 24 sty 2012, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 13 razy
Wektory własne
oznaczmy jakoś tak dla porządku
\(\displaystyle{ v_1=(1,1,0) \quad
v_2=(0,1,1) \quad
u_1=(1,3,2) \quad
u_2=(2,5,3)}\)
I niech \(\displaystyle{ v_1}\) będzie wektorem własnym dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_1}\) (analogicznie dla 2)
Kluczowa obserwacja jest taka:
\(\displaystyle{ u_1=v_1+2v_2 \qquad u_2=2v_1+3v_2}\)
Pierwszy Krok: jeżeli jeden z nim jest, to drugi też
jeśli na przykład \(\displaystyle{ u_1}\) jest wektorem własnym, to musi odpowiadać tej samej wartości własnej co \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_1}\). Skąd już łatwo wywnioskować, że wtedy \(\displaystyle{ u_2}\) też jest wektorem własnym.
Drugi Krok: jeżeli jeden nie jest, to drugi też nie
Niech \(\displaystyle{ u_2}\) nie będzie wektorem własnym, to dla każdej \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ 2\lambda_1 v_1 + 3 \lambda_2 v_2=Au_2 \neq \lambda u_2 = 2\lambda v_1+3\lambda v_2}\)
jeżeli popatrzymy się na drugie współrzędne wektorów w powyższej równości, to dostaniemy
\(\displaystyle{ 2\lambda_1 + 3 \lambda_2\neq 5\lambda}\)
Jeżeli teraz podstawimy sobie \(\displaystyle{ \lambda = \lambda_1}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ \lambda_1 \neq \lambda_2}\), czyli \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) odpowiadają innym wartościom własnym.
Teraz właściwa część drugiego kroku, załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ u_1}\) jest wektorem własnym, wtedy istnieje \(\displaystyle{ \lambda}\) taka, że
\(\displaystyle{ \lambda_1 v_1 + 2 \lambda_2 v_2=Au_1 = \lambda u_1 = \lambda v_1+2\lambda v_2}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1 v_1 + 2 \lambda_2 v_2= \lambda v_1+2\lambda v_2}\)
jeżeli się teraz popatrzymy na pierwszą i trzecią współrzędną wektorów, to dostaniemy \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda=\lambda_2}\)
Sprzeczność.
Pewnie część rzeczy można skrócić i powołać się na liniową niezależność wektorów własnych, ale w tym przypadku dane są tak ładnie dobrane, że aż samo się pisze.
P. D.
\(\displaystyle{ v_1=(1,1,0) \quad
v_2=(0,1,1) \quad
u_1=(1,3,2) \quad
u_2=(2,5,3)}\)
I niech \(\displaystyle{ v_1}\) będzie wektorem własnym dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_1}\) (analogicznie dla 2)
Kluczowa obserwacja jest taka:
\(\displaystyle{ u_1=v_1+2v_2 \qquad u_2=2v_1+3v_2}\)
Pierwszy Krok: jeżeli jeden z nim jest, to drugi też
jeśli na przykład \(\displaystyle{ u_1}\) jest wektorem własnym, to musi odpowiadać tej samej wartości własnej co \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_1}\). Skąd już łatwo wywnioskować, że wtedy \(\displaystyle{ u_2}\) też jest wektorem własnym.
Drugi Krok: jeżeli jeden nie jest, to drugi też nie
Niech \(\displaystyle{ u_2}\) nie będzie wektorem własnym, to dla każdej \(\displaystyle{ \lambda}\)
\(\displaystyle{ 2\lambda_1 v_1 + 3 \lambda_2 v_2=Au_2 \neq \lambda u_2 = 2\lambda v_1+3\lambda v_2}\)
jeżeli popatrzymy się na drugie współrzędne wektorów w powyższej równości, to dostaniemy
\(\displaystyle{ 2\lambda_1 + 3 \lambda_2\neq 5\lambda}\)
Jeżeli teraz podstawimy sobie \(\displaystyle{ \lambda = \lambda_1}\), to dostaniemy \(\displaystyle{ \lambda_1 \neq \lambda_2}\), czyli \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\) odpowiadają innym wartościom własnym.
Teraz właściwa część drugiego kroku, załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ u_1}\) jest wektorem własnym, wtedy istnieje \(\displaystyle{ \lambda}\) taka, że
\(\displaystyle{ \lambda_1 v_1 + 2 \lambda_2 v_2=Au_1 = \lambda u_1 = \lambda v_1+2\lambda v_2}\)
\(\displaystyle{ \lambda_1 v_1 + 2 \lambda_2 v_2= \lambda v_1+2\lambda v_2}\)
jeżeli się teraz popatrzymy na pierwszą i trzecią współrzędną wektorów, to dostaniemy \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda=\lambda_2}\)
Sprzeczność.
Pewnie część rzeczy można skrócić i powołać się na liniową niezależność wektorów własnych, ale w tym przypadku dane są tak ładnie dobrane, że aż samo się pisze.
P. D.