Układ równań, Twierdzenie Kroneckera - Capelliego

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:00

Witam, muszę rozwiązać następujące równanie wykorzystując twierdzenie Kroneckera - Capelliego

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1} - 6x_{2} = 11\\

x_{1} - 2x_{2} = 1\\

x_{2} - 3x_{3} - x_{4} =0\end{cases}:}\)

Na początek rzędy sobie liczyłam,
rz(A)=rz(U)=3

co dalej robić? możecie dać podpowiedz itp hmm?

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:06

Twierdzenie K-C mówi jedynie o liczbie rozwiązań. Nie jest natomiast sposobem rozwiązywania układów liniowych.
Zatem dalsza metoda rozwiązywania zależy od Ciebie.

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:11

To nakierujcie mnie troszkę jak dalej proszę

to jak nam rzędy wychodzą 3, to będzie
1) 3 rozwiązania
2) nie skonczenie wiele?

które bo jakoś nie jarzę tego

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:17

Na pewno z pierwszych 2 równań mamy za free \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\).
Z 3. równania pozostaje wyznaczyć \(\displaystyle{ x_3}\) przyjmując \(\displaystyle{ x_4}\) jako parametr (lub na odwrót).

2) nie skonczenie wiele?

Tak, nieskończenie wiele.

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:32

no tak \(\displaystyle{ x_{1} = 4

x_{2} = - \frac{5}{2}}\)

to rozumiem,
a co dalej z
\(\displaystyle{ -3x _{3} -x _{4} = \frac{5}{2}}\)

bo troszkę nie jarzę tego, daj jeszcze jedną wskazówkę )

czyzby np?
\(\displaystyle{ t=x _{3} -x _{4}}\)

??

\(\displaystyle{ i teraz -3t= \frac{5}{2}

t=- \frac{5}{6}

ale co z x _{3} i x _{4} ??}\)

ale co dalej?

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:34

no tak \(\displaystyle{ x_{1} = 4\\ x_{2} = - \frac{5}{2}}\)

No niestety nie.

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:36

a ile? hmm

\(\displaystyle{ po podstawieniu do

x _{1} -6x _{2} =11 zgadza sie}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:40

\(\displaystyle{ 21}\) i \(\displaystyle{ 10}\).

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:42

Twoje tylko w 1 przypadku się rownania sprawdza, moje w obydwuch, pokaz skąd i jak wzioleś 21 i 10

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:44

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - x_{2} = 11\\ x_{1} - 2x_{2}=1 \end{cases} \\
\begin{cases} 21 - 10 = 11\\ 21 - 20=1 \end{cases}}\)
W obu się sprawdza.

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 22:51

O rany boskie, przy pisaniu tematu pierwsze równanie zle zrobiłam

ma byc:

\(\displaystyle{ x _{1} -6x _{2} =11}\)

Przepraszam, napisałam zle, a na kartce mam moje obliczenia, te prawidlowe więc
\(\displaystyle{ x _{1}= -4
a
x _{2}= \frac{5}{2}}\)

Okk co dalej? to co wyżej pisałam to dobrze? czy jak

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 22:53

Załóżmy, że to co wyżej masz dobrze.

Teraz zaciskasz mocno dłonie i mówisz:
\(\displaystyle{ x_4=t}\)

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 23:00

niestety to mi dlaej nic nie mowi mamy:

\(\displaystyle{ -3x _{3} -t= \frac{5}{2}}\)

Chyba ze coś inaczej trzeba robic?

miki999 · Post autor: **miki999** » 28 sty 2012, o 23:03

Z ostatniego równania: \(\displaystyle{ x_{2} - 3x_{3} - x_{4} =0}\). Zatem:
\(\displaystyle{ x_3=\frac{x_2-x_4}{3}=\frac{x_2-t}}\)
i podstaw za \(\displaystyle{ x_2}\) tyle, ile Ci tam wyszło.

Kamilenka · Post autor: **Kamilenka** » 28 sty 2012, o 23:11

a moge zrobic tak: gdy
\(\displaystyle{ t=x _{4}}\)
potem ten wynik \(\displaystyle{ x _{3}}\) podstawic do
\(\displaystyle{ - \frac{ \frac{5}{2}+t }{3}+t=0}\)
i wychodzi mi t
i następnie wyliczam
\(\displaystyle{ x_{3}}\)

prawidlowo to będzie?