Rozwiąż układ równań o współ. z ciała Z11

[Zaboleq]

Witam,
Prosiłbym o pomoc bo dorwałem jedno zadanie ale chyba coś przespałem i nie za bardzo kumam o co chodzi z jedną kwestią niestety (wstyd się przyznać... ale nie bijcie):

Mam rozwiązać poniższy układ równań o współczynnikach rzeczywistych z ciała \(\displaystyle{ Z_{11}}\)

Najgorsze jest to, że nie wiem... o co chodzi z tymi współczynnikami z Ciała \(\displaystyle{ Z_{11}}\)
Gausa wałkowałem i było ok ale to mnie zagięło albo czegoś nie doczytałem . Proszę o pomoc.

Po prostu nie kumam o co chodzi w tym równaniu z współczynnikami z ciała \(\displaystyle{ Z_{11}}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1} + 5x_{2} + 8x_{3} = 3 \\ 7x_{1} + 3x_{2} +9x_{3} = 8 \\ 5x_{1} + 4x_{2} + 6x_{3} = 2\end{cases}\\}\)

[lukasz1804]

Wszystkie działania arytmetyczne, które wykonujesz (m.in. przy obliczaniu wyznaczników macierzy), są działaniami modulo \(\displaystyle{ 11}\)

[Zaboleq]

Ehh nadal nie kumam niestety.... Chcialem to robić Gausem ale kompletnie nie kumam tego modulo... Pamiętam tylko coś o reszcie z dzielenia ale w mojej "genialnej" książce nie ma żadnego How To pt "czym jest modulo i jak je tutaj zastosować" bo zapewne autor spodziewał się po czytelniku pewnego poziomu wiedzy. Szkoda tylko, że jego i siebie zawiodłem :0

Pomoże ktoś z tym zagadnieniem?

[magik2]

tzn. ze kazdej liczbie przypisujesz liczby z zakresu 0-10, np. 1=1 10=10 11=0 15=4 i chyba (bo nie jestem w 100% pewny) dla -1=10 -6=5, i teraz najtrudniejsze jak wykonujesz dzialnia na macierzy, to zamiast odjac np. 5*w1 to dodajesz 6*w1

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 8 \\ 7 & 3 & 9 \\ 5 & 4 & 6 \end{array}\right|=(72+225+224-120-144-210)\mod 11=47\mod 11=3}\), podobnie \(\displaystyle{ W_1=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 8 \\ 8 & 3 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right|=(54+90+256-48-108-240)\mod 11=4\mod 11=4,\\ W_2=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 8 \\ 7 & 8 & 9 \\ 5 & 2 & 6 \end{array}\right|=(192+135+112-320-72-126)\mod 11=-79\mod 11=9,\\ W_3=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ 5 & 4 & 2 \end{array}\right|=(24+200+84-45-128-70)\mod 11=65\mod 11=10}\).

Zatem z twierdzenia Cramera wynika, że \(\displaystyle{ x_1=\frac{W_1}{W}, x_2=\frac{W_2}{W}, x_3=\frac{W_3}{W}}\).
Przedtem zauważmy jednak, że \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3\in\mathbb{Z}_{11}}\) są takimi liczbami, że \(\displaystyle{ (3\cdot x_1)\mod 11=4, (3\cdot x_2)\mod 11=9, (3\cdot x_3)\mod 11=10}\). Stąd \(\displaystyle{ x_1=5, x_2=3, x_3=7}\) (te liczby można wprost odgadnąć lub skorzystać z tabelki działania mnożenia w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}}\)).