Wektory i własności własne endomorfizmu - diagonalizacja

[Matthew69]

Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) Obliczyć

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}6&-3\\4&-1\end{array}\right]^{n}}\)

Zatrzymałem się przy wyznaczaniu wektorów własnych:

\(\displaystyle{ \det(A - \lambda I)=\det\left[\begin{array}{cc}6-\lambda&-3\\4&-1-\lambda\end{array}\right]=(6-\lambda)(-1-\lambda)+12=(\lambda+6)(\lambda-1)}\)

\(\displaystyle{ Sp(A)=\left\{ 1,-6\right\}}\)

\(\displaystyle{ \lambda = 1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}5&-3\\4&-2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ \lambda = -6}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}12&-3\\4&5\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)


Jak obliczyć wektory własne tych macierzy, jakich operacji elementarnych użyć aby otrzymać przykładowe wektory własne odpowiadające wartościom własnym?

Z góry dziękuje za pomoc

[Qń]

Źle obliczyłeś wartości własne.

Q.

[Matthew69]

Źle obliczyłeś wartości własne.

Q.

Właściwie to ich jeszcze nie obliczyłem w tym cały problem jak to zrobić Bo co napisałem jest tylko zapisem
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&-3&:0\\4&-2&:0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}12&-3&:0\\4&5&:0\end{array}\right]}\)

np.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}12&-4\\30&-10\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}12&-4&:0\\30&-10&:0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&:0\\0&0&:0\end{array}\right]}\)

I przykładowym wektorem własnym odpowiadającej własności własnej to [1,3]

[Qń]

Już obliczyłeś - jedna wyszła Ci równa \(\displaystyle{ 1}\), a druga \(\displaystyle{ -6}\). I wyszły Ci źle. Nic więc dziwnego, że z błędnie policzonymi wartościami własnymi nie jesteś w stanie obliczyć wektorów własnych.

Q.

[Matthew69]

to jak powinno wyglądać poprawnie rozwiązane zadanie?

[Qń]

Zacznij od prawidłowego policzenia wielomianu własnego:
\(\displaystyle{ (6-\lambda)(-1-\lambda)+12= \ldots}\)
Q.

[Matthew69]

\(\displaystyle{ \det(A - \lambda I)=\det\left[\begin{array}{cc}6-\lambda&-3\\4&-1-\lambda\end{array}\right]=(6-\lambda)(-1-\lambda)+12=(\lambda - 3)(\lambda - 2)}\)

\(\displaystyle{ Sp(A)=\left\{ 2,3\right\}}\)

Teraz jest poprawnie?

[Qń]

Tak.

Q.

[Matthew69]

\(\displaystyle{ \lambda = 2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}4&-3\\4&-3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ \lambda = 3}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-3\\4&-4\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)

I teraz jak obliczyć wektory własne?-- 28 sty 2012, o 20:35 --\(\displaystyle{ \lambda = 2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}4&-3\\4&-3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ \lambda = 3}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}3&-3\\4&-4\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}\)

I teraz jak obliczyć wektory własne?

[Qń]

Musisz po prostu rozwiązać te układy równań. Na przykład w drugim przypadku widać, że oba równania są identyczne, i wynika z nich, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), tak więc wektory własne są postaci:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)=(x_1,x_1)=x_1\cdot (1,1)}\)
czyli baza przestrzeni wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ 3}\) jest jednoelementowa i składa się z wektora \(\displaystyle{ (1,1)}\).

Q.