wektor i wartości własne macierzy

[eVy]

Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający najmniejszej dodatniej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]}\)

[lukasz1804]

Macierz \(\displaystyle{ A}\) jest trójkątna dolna, więc taka będzie też macierz \(\displaystyle{ A-xI}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\). Wobec tego \(\displaystyle{ \det(A-xI)=(1-x)(2-x)(-1-x)}\).

Najmniejszą dodatnią wartością własną jest \(\displaystyle{ 1}\).
Dalej mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\), skąd \(\displaystyle{ y=-2x, z=\frac{1}{2}x}\), więc \(\displaystyle{ x=2z, y=-4z}\). Wektorem własnym jest zatem \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 2z \\ -4z \\ z \end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ z\ne 0}\).

[eVy]

Do zadania: Skąd wiadomo, że najmniejszą dodatnią wartością własną jest 1?

Poza tym, dlaczego 2. zadanie zostało usunięte? Dział jest dobry, gdyż jest to Algebra liniowa, więc nie rozumiem w czym problem?

[lukasz1804]

Wartości własne to pierwiastki otrzymanego wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ \det(A-xI).}\)