Zbadaj, dla jakich \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R}}\) nierówność:
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2>\lambda (ab+bc+cd)}\)
zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{R}}\) nie wszystkich równych \(\displaystyle{ 0}\).
to zadanie było w temacie: Formy dwuliniowe i kwadratowe.. nie wiem jaki ma z nimi związek..
Nierówność z parametrem
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Nierówność z parametrem
Przerzuć wszystko na lewą stronę - wtedy po lewej stronie będziesz miał formę kwadratową. Wystarczy więc zbadać (przy użyciu kryterium Sylvestera) kiedy macierz tej formy jest dodatnio określona.
Q.
Q.
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Nierówność z parametrem
świeży temat więc musiałem sobie parę rzeczy uporządkować..
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2>\lambda (ab+bc+cd)}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2-\lambda ab-\lambda bc- \lambda cd>0}\)
i to jest już moja forma kwadratowa.. zmienię sobie oznaczenia żeby się nie mylić:
\(\displaystyle{ h(\vec{x})=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-\lambda x_1 x_2 - \lambda x_2 x_3 - \lambda x_3 x_4}\)
teraz szukam takiej formy hermitowskiej (a, nawet chyba wystarczy dwuliniowa, bo poruszamy się w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) \(\displaystyle{ \phi}\), że mam \(\displaystyle{ \forall_{x} \ \phi(\vec{x},\vec{x})=h(\vec{x})}\)
myślę, że w takim razie zadziała coś takiego:
\(\displaystyle{ \phi(\vec{x},\vec{y})=x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 + x_4 y_4 -\frac{\lambda}{2} x_1 y_2 -\frac{\lambda}{2} x_2 y_1 \\ -\frac{\lambda}{2}x_2 y_3 - \frac{\lambda}{2}x_3 y_2 -\frac{\lambda}{2}x_3 y_4 -\frac{\lambda}{2}x_4 y_3}\)
mam w niej liniowość ze względu na drugą zmienną oraz \(\displaystyle{ \phi (\vec{x},\vec{y})=\phi(\vec{y},\vec{x})}\)
ponadto to co chciałem czyli \(\displaystyle{ \phi(\vec{x},\vec{x})=h(\vec{x})}\)
teraz znajduję macierz formy \(\displaystyle{ \phi}\) w bazie standardowej i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left[ \phi(e_i,e_j)\right]_{i,j=1}^n=\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{\lambda}{2}&0&0\\-\frac{\lambda}{2}&1&-\frac{\lambda}{2}&0\\0&-\frac{\lambda}{2}&1&-\frac{\lambda}{2}\\0&0&-\frac{\lambda}{2}&1\end{array}\right]=\mathbb{A}}\)
i teraz z kryterium Sylvestera rozkładam tą macierz na: \(\displaystyle{ \text{diag}(I_{\pi}, -I_{v}, 0_{\xi}) = C^H \cdot \mathbb{A} \cdot C}\)
z tej diagonalnej którą otrzymam sprawdzam wyznaczniki wszystkich macierzy kątowych.. jeśli każdy z nich jest większy niż zero to nasza forma jest dodatnio określona, co należało dowieść? myślenie może być, czy coś pokręciłem?-- 28 sty 2012, o 13:16 --jeśli jest ok to nawet nie chce mi się rozkładać tej macierzy bo chyba widać że tajemniczą diagonalną będzie macierz jednostkowa czyli ok..
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2>\lambda (ab+bc+cd)}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2-\lambda ab-\lambda bc- \lambda cd>0}\)
i to jest już moja forma kwadratowa.. zmienię sobie oznaczenia żeby się nie mylić:
\(\displaystyle{ h(\vec{x})=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-\lambda x_1 x_2 - \lambda x_2 x_3 - \lambda x_3 x_4}\)
teraz szukam takiej formy hermitowskiej (a, nawet chyba wystarczy dwuliniowa, bo poruszamy się w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) \(\displaystyle{ \phi}\), że mam \(\displaystyle{ \forall_{x} \ \phi(\vec{x},\vec{x})=h(\vec{x})}\)
myślę, że w takim razie zadziała coś takiego:
\(\displaystyle{ \phi(\vec{x},\vec{y})=x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 + x_4 y_4 -\frac{\lambda}{2} x_1 y_2 -\frac{\lambda}{2} x_2 y_1 \\ -\frac{\lambda}{2}x_2 y_3 - \frac{\lambda}{2}x_3 y_2 -\frac{\lambda}{2}x_3 y_4 -\frac{\lambda}{2}x_4 y_3}\)
mam w niej liniowość ze względu na drugą zmienną oraz \(\displaystyle{ \phi (\vec{x},\vec{y})=\phi(\vec{y},\vec{x})}\)
ponadto to co chciałem czyli \(\displaystyle{ \phi(\vec{x},\vec{x})=h(\vec{x})}\)
teraz znajduję macierz formy \(\displaystyle{ \phi}\) w bazie standardowej i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \left[ \phi(e_i,e_j)\right]_{i,j=1}^n=\left[\begin{array}{cccc}1&-\frac{\lambda}{2}&0&0\\-\frac{\lambda}{2}&1&-\frac{\lambda}{2}&0\\0&-\frac{\lambda}{2}&1&-\frac{\lambda}{2}\\0&0&-\frac{\lambda}{2}&1\end{array}\right]=\mathbb{A}}\)
i teraz z kryterium Sylvestera rozkładam tą macierz na: \(\displaystyle{ \text{diag}(I_{\pi}, -I_{v}, 0_{\xi}) = C^H \cdot \mathbb{A} \cdot C}\)
z tej diagonalnej którą otrzymam sprawdzam wyznaczniki wszystkich macierzy kątowych.. jeśli każdy z nich jest większy niż zero to nasza forma jest dodatnio określona, co należało dowieść? myślenie może być, czy coś pokręciłem?-- 28 sty 2012, o 13:16 --jeśli jest ok to nawet nie chce mi się rozkładać tej macierzy bo chyba widać że tajemniczą diagonalną będzie macierz jednostkowa czyli ok..