Wyznacznik jak to policzyć
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Wyznacznik jak to policzyć
Jak obliczyć taki wyznacznik ?
Chciałem skorzystać ze wzoru Vandermounda, ale to raczej nie jest poprawne.
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\1&x_{2}&x_{2} ^{2} & x_{2} ^{3}\\1&x_{3}&x_{3} ^{2} &x_{3} ^{3}\\1&x_{4}&x_{4} ^{2} &x_{4} ^{3} \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det = \left( x_{2}- x_{1} \right) \left( x_{3}- x_{1}\right)\left(x_{4}- x_{1} \right)\left( x_{3}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{3}\right)}\)
??
Chciałem skorzystać ze wzoru Vandermounda, ale to raczej nie jest poprawne.
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\1&x_{2}&x_{2} ^{2} & x_{2} ^{3}\\1&x_{3}&x_{3} ^{2} &x_{3} ^{3}\\1&x_{4}&x_{4} ^{2} &x_{4} ^{3} \end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det = \left( x_{2}- x_{1} \right) \left( x_{3}- x_{1}\right)\left(x_{4}- x_{1} \right)\left( x_{3}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{3}\right)}\)
??
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Wyznacznik jak to policzyć
Możesz korzystać z wyznacznika Vandermonde'a. To jest macierz transponowana do macierzy Vandermonde'a, ale przecież \(\displaystyle{ \mbox{det} \left( A\right) = \mbox{det} \left( A^T \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Wyznacznik jak to policzyć
\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\1&x_{2}&x_{2} ^{2} & x_{2} ^{3}\\1&x_{3}&x_{3} ^{2} &x_{3} ^{3}\\1&x_{4}&x_{4} ^{2} &x_{4} ^{3} \end{array}\right] = \prod_{i<j}^{} \left( x_{j}-x_{i} \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Wyznacznik jak to policzyć
Jak dojść do tego ostatecznego rozwiązania ? Na pewno nie wystarczy po prostu podać tego iloczynu jako rozwiązanie. Potrzebne są raczej jakieś rachunki
-
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
Wyznacznik jak to policzyć
Zrobiłem tak jak powiedziałeś. i dostałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\0&x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)
\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)
po zastosowaniu wzroru "sarrusa" otrzymamy dosyć pokaźną ilość nawiasów. i nie wiadomo co zrobić z tym dalej...
\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\0&x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)
\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)
po zastosowaniu wzroru "sarrusa" otrzymamy dosyć pokaźną ilość nawiasów. i nie wiadomo co zrobić z tym dalej...