Wyznacznik jak to policzyć

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
laewqq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: laewqq »

Jak obliczyć taki wyznacznik ?

Chciałem skorzystać ze wzoru Vandermounda, ale to raczej nie jest poprawne.
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\1&x_{2}&x_{2} ^{2} & x_{2} ^{3}\\1&x_{3}&x_{3} ^{2} &x_{3} ^{3}\\1&x_{4}&x_{4} ^{2} &x_{4} ^{3} \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ det = \left( x_{2}- x_{1} \right) \left( x_{3}- x_{1}\right)\left(x_{4}- x_{1} \right)\left( x_{3}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{2}\right)\left( x_{4}- x_{3}\right)}\)

??
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: bartek118 »

Możesz korzystać z wyznacznika Vandermonde'a. To jest macierz transponowana do macierzy Vandermonde'a, ale przecież \(\displaystyle{ \mbox{det} \left( A\right) = \mbox{det} \left( A^T \right)}\)
laewqq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: laewqq »

co nie zmienia faktu, że nadal nie wiem jak to zrobic.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: bartek118 »

\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\1&x_{2}&x_{2} ^{2} & x_{2} ^{3}\\1&x_{3}&x_{3} ^{2} &x_{3} ^{3}\\1&x_{4}&x_{4} ^{2} &x_{4} ^{3} \end{array}\right] = \prod_{i<j}^{} \left( x_{j}-x_{i} \right)}\)
laewqq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: laewqq »

Jak dojść do tego ostatecznego rozwiązania ? Na pewno nie wystarczy po prostu podać tego iloczynu jako rozwiązanie. Potrzebne są raczej jakieś rachunki
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: bartek118 »

Wykorzystaj jedynkę do wyzerowania pierwszej kolumny i rozwinięcie Laplace'a
laewqq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 12:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: laewqq »

Zrobiłem tak jak powiedziałeś. i dostałem coś takiego:

\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{cccc}1& x_{1} & x_{1} ^{2} &x_{1} ^{3} \\0&x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\0&x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)

\(\displaystyle{ \mbox{det} \left[\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1}&x_{2} ^{2}-x_{1} ^{2} & x_{2} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{3}-x_{1}&x_{3} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{3} ^{3}-x_{1} ^{3}\\x_{4}-x_{1}&x_{4} ^{2}-x_{1} ^{2} &x_{4} ^{3}-x_{1} ^{3} \end{array}\right] \right)=}\)

po zastosowaniu wzroru "sarrusa" otrzymamy dosyć pokaźną ilość nawiasów. i nie wiadomo co zrobić z tym dalej...
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Wyznacznik jak to policzyć

Post autor: bartek118 »

Rozkładaj to na czynniki liniowe i wyciągaj przed nawias to co się da i wyjdzie.
ODPOWIEDZ