Wyznaczenie wartosci parametru a, macierz.

[wisienka1234]

witam,
zadanie wygląda następująco
Wyznaczyć wartości parametru a, dla których układ równań jest oznaczony.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+0+3x_{3}+x_{4}=0\\0+x_{2}-2x_{3}+ax_{4}=0\\3x_{1}+0-x_{3}+3x_{4}=0\\-2_x_{1}+ax_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}}\)


jak się do tego zabrać? przeglądałem notatki z zeszytu i za bardzo nie rozumiem tego.


pozdrawiam

[kajus]

układ jest oznaczony jeśli wyznacznik macierzy głównej układu jest rożny od zera

[wisienka1234]

za dużo mi to nie powiedziało.

trzeba więc to obliczyć Gaussem czy w jakiś inny sposób? jakieś wskazówki jeszcze?

bardzo mi zależy na szybkiej odpowiedzi, bo egzamin tuż tuż...

[kajus]

metod liczenia wyznacznika jest wiele, dlatego jest to chyba najprostszy sposób, żeby stwierdzić czy układ jest oznaczony
może powiedz czego konkretnie nie rozumiesz, będziemy mogli lepiej pomóc

[wisienka1234]

doszedłem do takiego momentu, że :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&1&|0\\0&1&0&a&|0\\0&0&1&0&|0\\0&a&0&1&|0\end{array}\right]}\)


i jak tutaj dalej, co z tym zrobić?

[kajus]

po 1 ograniczasz sie do macierzy głównej czyli



\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&a\\0&0&1&0\\0&a&0&1\end{array}\right]}\)

rozwijasz wyznacznik względem 1 kolumny:\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&a\\0&0&1&0\\0&a&0&1\end{array} \right| =
1 \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1&0&a\\0&1&0\\a&0&1 \end{array} \right|}\)

to już jest wyznacznik macierzy 3x3 co policzysz ze wzoru i sprawdzisz kiedy jest różny od zera

[wisienka1234]

wyznacznik wyszedł mi \(\displaystyle{ 1- a^{2} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ -a^{2} \neq -1}\)
\(\displaystyle{ a^{2} \neq 1}\)
\(\displaystyle{ a \neq 1 \vee a \neq -1}\)

dobrze? i to koniec zadania?

[sneik555]

tak.

[wisienka1234]

dziękuję

[lukasz1804]

Jeszcze taka uwaga: czasem przy układach wielu równań sprawdzenie, kiedy układ jest oznaczony warto wykonać na podstawie rzędu macierzy głównej układu, a nie jej wyznacznika. Wyznacznik macierzy (kwadratowej) jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jej rząd jest maksymalny (równy wymiarowi macierzy).

[wisienka1234]

a jeżeli rząd byłby 2 w tej macierzy to co wtedy?

i jeszcze mam pytanie, jeżeli będzie np zadanie wyznaczyć układ równań, dla których układ będzie nieoznaczony ?

[lukasz1804]

Jeśli rząd jest mniejszy niż maksymalny, to układ na pewno nie jest oznaczony (jednocześnie wyznacznik macierzy głównej jest równy zeru). Nie wiadomo jednak, czy układ jest nieoznaczony, czy też sprzeczny.
Aby to zweryfikować, należy obliczyć także rząd macierzy uzupełnionej. Jeśli rzędy obydwu macierzy są równe, to układ jest nieoznaczony, a jeśli rzędy są różne, to układ jest sprzeczny.