Cześć. Mam zrobić dwa zadania. Kompletnie nie rozumiem jak to zrobić. Czy mógłby ktoś mi pomóc?
1. W zbiorze X = R {1} zdefiniowano działanie *:
a * b = ab + a + b.
Sprawdz czy para (X,*) jest grupą.
2. W grupie S6 rozwiązać równanie:
(6 5 2 1 4 3) do potęgi -1 x ( 1 3 6 2 4 5) = (2 6 1 5 4 3).
Czy permutacja x jest parzysta? Swoją odpowiedz uzasadnij.
PS: Nie chodzi mi o gotowe odpowiedzi, tylko o wytłumaczenie jak to trzeba rozwiązać.
Permutacje studia
-
Marmite
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 2 razy
Permutacje studia
Przede wszystkim LaTeX
Ad 1. Aby para zbiór-działanie była grupą, musi spełniać 3 warunki:
\(\displaystyle{ 1^{o} \bigwedge\limits_{a,b,c \in X} (a * b) * c = a * (b * c) \\
2^{o} \bigwedge\limits_{a \in X} \bigvee \limits_{e \in X} a * e = e* a = a \\
3^{o} \bigwedge\limits_{a \in X} \bigvee \limits_{a' \in X} a * a' = a' * a = e}\)
czyli w przełożeniu na polski:
1 - działanie musi być łączne
2 - dla każdego elementu \(\displaystyle{ a}\) istnieje taki element \(\displaystyle{ e}\), że \(\displaystyle{ a * e = e * a = a}\) - element \(\displaystyle{ e}\) jest w tym wypadku elementem neutralnym
3 - dla każdego elementu \(\displaystyle{ a}\) istnieje taki element \(\displaystyle{ a'}\), że \(\displaystyle{ a * a' = a' * a = e}\) - element \(\displaystyle{ a'}\) jest w tym wypadku elementem symetrycznym do \(\displaystyle{ a}\)
Wiesz jak wygląda działanie między dwoma elementami. Zastosuj je i jeśli te 3 warunki zostaną spełnione, to wiesz, że \(\displaystyle{ (X, *)}\) jest grupą.
Ad 1. Aby para zbiór-działanie była grupą, musi spełniać 3 warunki:
\(\displaystyle{ 1^{o} \bigwedge\limits_{a,b,c \in X} (a * b) * c = a * (b * c) \\
2^{o} \bigwedge\limits_{a \in X} \bigvee \limits_{e \in X} a * e = e* a = a \\
3^{o} \bigwedge\limits_{a \in X} \bigvee \limits_{a' \in X} a * a' = a' * a = e}\)
czyli w przełożeniu na polski:
1 - działanie musi być łączne
2 - dla każdego elementu \(\displaystyle{ a}\) istnieje taki element \(\displaystyle{ e}\), że \(\displaystyle{ a * e = e * a = a}\) - element \(\displaystyle{ e}\) jest w tym wypadku elementem neutralnym
3 - dla każdego elementu \(\displaystyle{ a}\) istnieje taki element \(\displaystyle{ a'}\), że \(\displaystyle{ a * a' = a' * a = e}\) - element \(\displaystyle{ a'}\) jest w tym wypadku elementem symetrycznym do \(\displaystyle{ a}\)
Wiesz jak wygląda działanie między dwoma elementami. Zastosuj je i jeśli te 3 warunki zostaną spełnione, to wiesz, że \(\displaystyle{ (X, *)}\) jest grupą.