Wyznaczanie elementu macierzy odwrotnej

[jjedrek]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\-2 & 1 & 0 & -1 \\3 & -2 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ det\left( A ^{3} \right)=8}\) wyznaczyć element macierzy odwrotnej do macierzy \(\displaystyle{ A}\) stojący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie.

Ja wiem, że można żmudnie wyznaczyć macierz odwrotną i sprawdzić co tam też stoi, ale na to czasu nie ma na egzaminie... Zastanawia mnie podany wyznacznik. Zwracam się z prośbą o naprowadzenie lub rozwiązanie tego zadania.

Egzamin już w 30.01 więc zależy mi na czasie ;]

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac 12 \cdot (-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 & 0 \\-2 & 0 & -1 \\0 & 2 & 1 \end{vmatrix}}\)
Zastanów się dlaczego.

Q.

[jjedrek]

A więc ja to rozumiem tak:

1. Skoro mamy znaleźć wyraz macierzy odwrotnej do \(\displaystyle{ A}\), który leży w drugim wierszu i trzeciej kolumnie to rozwinięciem Laplace'a "wykreślamy" odwrotnie tj trzeci wiersz i drugą kolumnę z macierzy \(\displaystyle{ A}\).

2. \(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{3+2}}\) to dopełnienie macierzy: 3 oznacza wiersz 2 oznacza kolumnę.

3. \(\displaystyle{ det\left( A^{3}\right)=8}\) pierwiastkujemy i mamy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) równy 2

4. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) mianownik to wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) ale w liczniku to nie wiem skąd się 1 wzięło...

5. I w dalszym ciągu nie wiem jaki to ma związek z wyliczeniem tego elementu macierzy \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) oprócz tego, że z powyższego zapisu wychodzi -4 i ma tyle wyjść, bo taka jest odpowiedź.

[Qń]

A znasz wzór:
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{(A^D)^T}{\det A}}\)
?

Q.

[jjedrek]

Przewinął się gdzieś w książce ale ze względu na to, że nie wiem jak wyznaczyć macierz dopełnień to nie zwróciłem na niego uwagi...

[Qń]

\(\displaystyle{ (-1)^{3+2}\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 & 0 \\-2 & 0 & -1 \\0 & 2 & 1 \end{vmatrix}}\)
to wyraz, który w macierzy dopełnień stoi w trzecim wierszu i drugiej kolumnie. Resztę chyba już łatwo sobie dopowiedzieć.

Q.