Rozwiązać układ równań korzystając z macierzy odwrotnej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Marmite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozwiązać układ równań korzystając z macierzy odwrotnej

Post autor: Marmite »

Cześć. Mam problem z zadaniem które polega na wyliczeniu macierzy odwrotnej do danej i z jej pomocą (cytuję, "korzystając z niej") rozwiązania układu równań. Mamy macierz:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&-2&-3\\3&1&4\\2&5&1\end{bmatrix}}\)

Macierz odwrotną zapiszę od razu, bo wyznaczyć ją umiem i to nie na tym aspekcie chcę się skupić:

\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{-1}{68} \begin{bmatrix} -19&-13&-5\\5&7&-13\\13&-9&7\end{bmatrix}}\)

układ równań, którego rozwiązanie mam wyznaczyc korzystając z tej (\(\displaystyle{ A^{-1}}\)) macierzy to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ x \quad - \quad 2y \quad - \quad 3z \quad = \quad -5 \\ 3x \quad + \quad \ y \quad + \quad 4z \quad = \quad 6 \\ 2x \quad + \quad 5y \quad + \quad z \quad = \quad 17 \end{cases}}\)

I tu stawia się moje pytanie: jak to zrobić? Co właściwie ma wspólnego ta macierz z tym równaniem, żeby można z niej było policzyć jego rozwiązanie? Proszę nawet nie o rozwiązania, bo zdaję sobie sprawę że kodowanie operacji na macierzach, o ile takie będą, może być żmudne, tylko o konkretne wytłumaczenie czego to zadanie ode mnie właściwie oczekuje dając mi takie a nie inne dane.

Pozdrawiam
szw1710

Rozwiązać układ równań korzystając z macierzy odwrotnej

Post autor: szw1710 »

Zapisujesz układ w postaci macierzowej: \(\displaystyle{ AX=B}\), gdzie

\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\,,\quad B=\begin{bmatrix}-5\\6\\17\end{bmatrix}\,.}\)

Wtedy \(\displaystyle{ X=A^{-1}B}\) i już.

Teraz rozwiąż układ macierzowo, a potem "normalnie", bądź sprawdź wynik, bo jest to układ Cramera, więc oznaczony.
Awatar użytkownika
Marmite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 2 razy

Rozwiązać układ równań korzystając z macierzy odwrotnej

Post autor: Marmite »

Kurczę no, nie zwróciłem nawet uwagi, że współczynniki przy niewiadomych są z macierzy A starałem się jak mogłem doszukać związku między nimi a macierzą \(\displaystyle{ A^{-1}}\), ale nic nie widziałem. Wielkie dzięki za uświadomienie gdzie że patrzyłem źle i za dalszą pomoc
ODPOWIEDZ