Przekształcenie, podprzesteń i izomorfizm - sprawdzenie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
supeextra5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 22 sty 2012, o 00:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Przekształcenie, podprzesteń i izomorfizm - sprawdzenie

Post autor: supeextra5 »

Proszę o sprawdzenie rozwiązania:

Niech \(\displaystyle{ F: R^4\to R^4, F:(x,y,z,t)=F(x+y+z+2t, x-y+z+6t, x+y-z-4t)}\)
a) Znaleźć bazy i wymiar\(\displaystyle{ KerF}\) oraz \(\displaystyle{ ImF}\)
b) Znaleźć podprzestrzeń \(\displaystyle{ U}\), przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\), że \(\displaystyle{ KerF \oplus U = R^4}\)
c)Pokazac, ze podprzesteń \(\displaystyle{ U}\) jest izomorifczna z \(\displaystyle{ ImF}\)

a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&2\\1&-1&1&6\\1&1&-1&-4\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\0&-2&0&4\\0&0&-2&-6\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix} 1&1&1&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&3\end{bmatrix} \to
\begin{bmatrix} 1&0&0&1\\0&1&0&-2\\0&0&1&3\end{bmatrix}}\)


z tego \(\displaystyle{ KerF = \begin{bmatrix} -1\\2\\-3\\1\end{bmatrix}
ImF = \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\-1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1\\-1\end{bmatrix}}\)
Wymiary, to \(\displaystyle{ dimKerF=1}\) a \(\displaystyle{ dimImF=3}\)

b) Czy wystarczy dopisać macierz jednostkową \(\displaystyle{ R^4}\) i sprawdzić, które wektory tworzą układ liniowo niezależny z \(\displaystyle{ KerF}\)?
tzn.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1&0&0&0\\2&0&1&0&0\\-3&0&0&1&0\\1&0&0&0&1\end{bmatrix}}\)
I tu wychodzi, że np. \(\displaystyle{ e_1, e_2}\) i \(\displaystyle{ e_3}\), są liniowo niezależne z \(\displaystyle{ KerF}\), czyli Podprzestrzeń \(\displaystyle{ U}\) to będzie \(\displaystyle{ L(e_1,e_2,e_3)}\)

co do co c) To wiem, że \(\displaystyle{ dim ImF=3}\), oraz \(\displaystyle{ dimU=3}\).. czyli wystarczy powiedzieć tylko, że dowolne dwie przestrzenie o tym samym wymiarze są izomorficzne
Ostatnio zmieniony 26 sty 2012, o 10:39 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepełne użycie LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
ODPOWIEDZ