Zbadaj liniową niezależność wektorów do spr

[FunTastic]

witam mam zadanie zbadać liniową niezależność wektorów:
\(\displaystyle{ v=\left( 1,4,1\right)
u=\left( 2,-1,3\right)
w=\left( 1,-2,1\right)}\)
Liczyłem to z wyznacznika macierzy i wyszedł mi \(\displaystyle{ -48 \neq 0}\)
z czego wynika że są liniowo niezależne.
Moje pytanie czy dobrze podchodzę do tego zadania i czy jest inny sposób na rozwiązanie tego?
Co jeśli będe miał podane 4 wektory?

[rodzyn7773]

Jeżeli wyznacznik dobrze policzyłeś to masz rację a sposobów pewnie jest jeszcze trochę. A co do pytania co jeśli byłyby 4 wektory? To wtedy na pewno byłyby liniowo zależne. Jest tw. że jeśli przestrzeń jest n wymiarowa to dla układu n+1 wektorów z tej przestrzeni ten układ jest liniowo zależny. Ogólnie jeśli wektorów jest więcej niż wymiar to układ jest liniowo zależny.

[g4spr0m]

Można to liczyć z definicji. Wektory \(\displaystyle{ \vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\ldots,\vec{v_{n}}\in \mathbb{V}}}\) są liniowo niezależne, jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots,\alpha_{n} \in \mathbb{R}}\) z warunku \(\displaystyle{ \alpha_{1}\vec{v_{1}}+\alpha_{2}\vec{v_{2}}+\ldots+\alpha_{n}\vec{v_{n}}=\vec{\mathbs{O}}}\), wynika, że \(\displaystyle{ \alpha_{1}= \alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=0}\).

W tym przypadku dla wektorów \(\displaystyle{ v=\left( 1,4,1\right)
u=\left( 2,-1,3\right)
w=\left( 1,-2,1\right)}\) rozwiązanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}(1,4,1)+\alpha_{2}(2-1,3)+\alpha_{3}(1,-2,1)=\vec{\mathbs{O}}=(0,0,0)}\)
Z czego wynika układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_{1}+2\alpha_{2}+\alpha_{3}=0 \\
4\alpha_{1}-\alpha_{2}-2\alpha_{3}=0 \\
\alpha_{1}+3\alpha_{2}+\alpha_{3}=0
\end{cases}}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_{1}=-2\alpha_{2}-\alpha_{3} \\
4\alpha_{1}-\alpha_{2}-2\alpha_{3}=0 \\
\alpha_{2}=0
\end{cases}}\)
Czego wynikiem jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_{1}=0 \\
\alpha_{2}=0 \\
\alpha_{3}=0 \end{cases}}\)
Układ spełnia warunek \(\displaystyle{ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0}\) wobec czego powyższe wektory są niezależne liniowo.