Badanie zależności liniowej wektorów w przestrzeni Rn

[zaslon]

Wektory \(\displaystyle{ \vec{u} , \vec{v} , \vec{w}}\) są liniowo zależne w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Czy wektory \(\displaystyle{ \vec{u} - \vec{v} , \vec{u} , \vec{w} - \vec{v}}\) także są liniowo zależne?

Gdyby wektory \(\displaystyle{ \vec{u} , \vec{v} , \vec{w}}\) były liniowo niezależne, to rozwiązałbym to tak:
\(\displaystyle{ \alpha ( \vec{u} - \vec{v} ) + \beta \vec{u} + \gamma( \vec{w} - \vec{v} ) = 0\\
\alpha \vec{u} - \alpha \vec{v} + \beta \vec{u} + \gamma \vec{w} -\gamma \vec{v} = 0\\
\vec{u} ( \alpha + \beta ) + \vec{v} (- \alpha -\gamma) + \vec{w} \gamma = 0}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha+\beta=0\\ -\alpha -\gamma=0\\ \gamma=0\end{array}}\)
Po rozwiązaniu układu równań stwierdzam, czy są liniowo zależne, czy nie.

Czy również w przypadku liniowo zależnych wektorów mogę postępować analogicznie? Bardzo prosiłbym o wskazówki, jak powinienem rozwiązać to zadanie.

[kajus]

wektory są zależne, więc istnieją takie \(\displaystyle{ a,b}\) że:
\(\displaystyle{ \vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}\\}\)
dla wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{u} - \vec{v} , \vec{u} , \vec{w} - \vec{v}\\
\vec{u}=c \cdot (\vec{u} - \vec{v})+d \cdot (\vec{w} - \vec{v})\\
(1-c)\vec{u}=(-c-d)\vec{v}+d\vec{w}\\
\vec{u}=\frac{-c-d}{1-c}\vec{v}+\frac{d}{1-c}\vec{w}\\\\}\)
a wiemy, że:
\(\displaystyle{ \vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}\\}\)
więc dla:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=\frac{-c-d}{1-c}\\\b=frac{d}{1-c} \end {cases}}\)
układ wektorów jest liniowo zależny, bo udowodniliśmy równość:
\(\displaystyle{ \vec{u}=c \cdot (\vec{u} - \vec{v})+d \cdot (\vec{w} - \vec{v})\\}\)
jeżeli oczywiście uda się wyznaczyć \(\displaystyle{ c,d}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\)

nie wiem czy to rozwiązanie nie jest zbyt naciągane:D

[zaslon]

Dzięki wielkie za odpowiedź!