wyznaczenie bazy przestrzeni używając operacji elementarnych

[wsabat]

Nie rozumiem rozwiązania zadania z podręcznika:
Wyznaczyć, korzystając z operacji elementarnych, bazę przestrzeni:

\(\displaystyle{ L($$\left[\begin{array}{ccc}
1\\
-2
\end{array}\right]$$,
$$\left[\begin{array}{ccc}
-2\\
4
\end{array}\right]$$,
$$\left[\begin{array}{ccc}
2\\
2
\end{array}\right]$$)}\)

Z wektorów rozpinających przestrzeń tworzę macierz, a następnie korzystam z metody operacji elementarnych, by sprowadzić ją do postaci bazowej.
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
1&-2&2\\
-2&4&2
\end{array}\right]$$}\)

Wykonuję kolejno trzy operacje elementarne:

\(\displaystyle{ w_{2}+2w_{1}\\
\frac{1}{6}w_{2}\\
w_{1}-2w_{2}}\)

otrzymuję macierz:

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
1&-2&0\\
0&0&1
\end{array}\right]$$}\)

Wg książki rozwiązanie to wektory:
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
1\\
-2
\end{array}\right]$$,
$$\left[\begin{array}{ccc}
2\\
2
\end{array}\right]$$}\)
Jeżeli dobrze rozumiem, to bazę tej przestrzeni muszą tworzyć wektory, które w utworzonej macierzy \(\displaystyle{ 2x3}\) dały się przekształcić
do kolumn postaci \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
1\\
0
\end{array}\right]$$,$$\left[\begin{array}{ccc}
0\\
1
\end{array}\right]$$}\)

Dlaczego rozwiązaniem nie może być para wektorów:
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
-2\\
4
\end{array}\right]$$,
$$\left[\begin{array}{ccc}
2\\
2
\end{array}\right]$$}\)? Przecież można wykonać operację elementarną:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}w1}\)
i wtedy w drugiej kolumnie pojawi się:
\(\displaystyle{ $\left[\begin{array}{ccc}
1\\
0
\end{array}\right]$$}\)

[rodzyn7773]

Twoje rozwiązanie również jest dobre.