Znaleźć macierz w bazach

[myther]

Znaleźć macierz podanego przekształcenia liniowego we wskazanych bazach. \(\displaystyle{ T : R^{2} \rightarrow R^{3}}\),
\(\displaystyle{ T(x, y) = (x + y, 2x + y, x - 3y)}\), \(\displaystyle{ f1 = (1, 1)}\), \(\displaystyle{ f2 = (1,−1)}\); \(\displaystyle{ f1 = (1,−1, 0)}\), \(\displaystyle{ f2 = (0, 1,−1),}\)
\(\displaystyle{ f3 = (0, 0, 1)}\).

Czy wystarczy w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ f(...,...)}\) podstawiać liczby za x i y, a w drugim jak?

[Tomek_Z]

Sprawdź na co przejdą wersory i otrzymane w ten sposób wektory zapisz za pomocą wektorów bazowych \(\displaystyle{ R^3}\).

[adambak]

ewentualnie z obu baz można utworzyć macierze (wkładając w macierz po kolei wektory) i skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ F=\mathbb{B}^{-1}\cdot f\cdot \mathbb{A}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{A},\mathbb{B}}\) są kolejno bazami (zapisanymi w macierzy) dziedziny i przeciwdziedziny, a \(\displaystyle{ f}\) jest macierzą tego przekształcenia w bazie standardowej, co w tym przypadku łatwo odczytać równe jest:
\(\displaystyle{ f=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\\1&-3\end{array}\right]}\)

wtedy powstała macierz \(\displaystyle{ F}\) jest macierzą tego przekształcenia w bazach \(\displaystyle{ \mathbb{A},\mathbb{B}}\)..

[myther]

Czyli wystarczy obliczyć:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\\1&-3\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]^{-1} *\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\)

?

[adambak]

niestety pomyliłeś kolejność, zauważ że w przypadku macierzy ma to ogromne znaczenie.. ponadto raz wstawiasz wektory do kolumn raz do macierzy, napewno się to w końcu pomiesza i wyjdzie źle.. ja bym się zdecydował na jedną interpretację tzn wektor to macierz kolumna.. zauważ że przekształcenie jest z wektorów dwuwymiarowych na wektory trójwymiarowe tzn:

\(\displaystyle{ T\left( \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccc}x+y\\2x+y\\x-3y\end{array}\right]}\)

skoro przekształcenie jest liniowe to napewno odpowiada mu jakaś macierz (\(\displaystyle{ 3\times 2}\)) tzn:

\(\displaystyle{ T\cdot \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x+y\\2x+y\\x-3y\end{array}\right]}\)


bardzo łatwo zauważyć, że ta macierz w bazie standardowej to: \(\displaystyle{ f=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\\1&-3\end{array}\right]}\), no to pozostało tylko policzyć macierz \(\displaystyle{ F}\) w szukanych bazach, a te bazy to:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\) (dziedzina)

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]}\) (przeciwdziedzina)
(zauważ, że wciąż solidnie trzymam się tego że wektor to macierz-kolumna)

a więc pozostaje podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]^{-1}\cdot\left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\\1&-3\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\)

i po odwróceniu tamtej macierzy oraz wymnożeniu będziemy mieli szukaną macierz tego przekształcenia w danych bazach.. ale to metoda na podstawienie do wzoru, jesli go nie znasz to polecam zrobienie tego zadania tak jak pisze Tomek_Z, bo będzie to bardziej świadome działanie.. poza tym dobry trening..