Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu

[saszaw90]

Witam! Przygotowuję się do egzaminu. Mam następujące pytania oraz bardzo proszę o sprawdzenie dwóch przykładów, czy są dobrze rozwiązane przeze mnie:

Sprawdzić, czy odwzorowanie jest homomorfizmem przestrzeni liniowych. Jeśli jest, to wyznaczyć obraz i jądro. Dla homomorfizmu skonstruować macierz (w bazie kanonicznej).

Edit: Usunąłem pierwszy przykład, gdyż został sprawdzony i przeszkadza.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Drugi przykład:
Tutaj mam problem, bo:
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right]}\)

Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ g(U)+g(V) = g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] + g \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} rex_1\\im y_1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c} rex_2\\imy_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)
Zgadza się, teraz sprawdzimy drugi warunek:
\(\displaystyle{ g(au) = g(a \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=g(\left[\begin{array}{c} a x_1\\a y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ ag(u) = ag(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=a( \left[\begin{array}{c}re x_1\\im y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)
Z tego co wynika, że g jest homomorfizmem.

Jądro:
\(\displaystyle{ ker g = \left\{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] \in C^2: g \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]}\)
Więc jak mam wyznaczyć jądro?

Obraz:
Czy nie \(\displaystyle{ R^2}\)?

Jak skonstruować tu dla homomorfizmu macierz w bazie kanonicznej? Fajnie byłoby jaśniej i prościej, żeby zrozumiał.

Upsss, ale się rozpisałem, mam nadzieję, że ktoś sprawdzi i mi pomoże.

Będę ogromnie wdzięczny za pomoc.

[Tomek_Z]

W drugim przykładzie masz błąd już w pierwszej linijce. Skoro \(\displaystyle{ g: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) to \(\displaystyle{ g(x,y) = g(a+bi,c+di)}\).

W pierwszym ogólnie jest ok, choć wypadałoby wskazać konkretne wektory dla których równość \(\displaystyle{ g(U+V)=g(U)+g(V)}\) nie jest spełniona.

[saszaw90]

Dziękuje za odpowiedź, w takim razie usunąłem pierwszy przykład, bo za bardzo przeszkadzał i niech skupmy się na drugim przykładzie:

Skoro mówisz, że \(\displaystyle{ g(x,y) = g(a+bi,c+di)}\), to

\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)

Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????

W takim razie, jak mam to wyznaczyć?

[norwimaj]

Na początku nasuwa się pytanie. Nad jakim ciałem są te przestrzenie? Jaki jest wymiar tych przestrzeni? Czym są bazy kanoniczne tych przestrzeni? Po odpowiedzi na te pytania łatwiej Ci będzie dokończyć ten przykład.

[saszaw90]

Na początku nasuwa się pytanie. Nad jakim ciałem są te przestrzenie? Jaki jest wymiar tych przestrzeni? Czym są bazy kanoniczne tych przestrzeni? Po odpowiedzi na te pytania łatwiej Ci będzie dokończyć ten przykład.

Ja rozumiem, że te przestrzenie są nad ciałem \(\displaystyle{ C^2 \rightarrow R^2}\).
Jeśli chodzi o bazy kanoniczne, właśnie zwróciłem się do Was o pomoc, gdyż nie wiem i nie robiliśmy tego na zajęciach i nie wiem, jak za to zabrać. Czytałem w google co to jest baza kanoniczna, ale potrzebuję przykładu i wtedy mi jest łatwiej zrozumieć.

[norwimaj]

Ja rozumiem, że te przestrzenie są nad ciałem \(\displaystyle{ C^2 \rightarrow R^2}\).

Tego nie rozumiem. Znasz definicję przestrzeni liniowej?

[saszaw90]

To widocznie źle zrozumiałem. Ale żeby sprawdzić, czy jest homomorfizmem, to muszą spełnić dwa warunki, prawda?

W takim razie, jak tu zrobić:

\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)

Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????

[norwimaj]

Prawda. Jaki jest ten drugi warunek?

[saszaw90]

Prawda. Jaki jest ten drugi warunek?

\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)

W związku z tym mam problem z wyznaczaniem, bo mamy \(\displaystyle{ a+bi}\) i \(\displaystyle{ c+di}\)

[norwimaj]

Co w warunku

\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)

oznacza litera \(\displaystyle{ a}\)?

[saszaw90]

Co w warunku

\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)

oznacza litera \(\displaystyle{ a}\)?

Nie wiem, po prostu mam zapisane takie warunki, czyli:
\(\displaystyle{ g(u+v) = g(u)+g(v)}\)
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)
Nikt nie powiedział, że \(\displaystyle{ a}\) ma jakieś znaczenie.

[norwimaj]

Masz zapisane takie warunki, ale nikt Ci nie powiedział, co oznaczają poszczególne litery w tych wzorach?

Warunek \(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\) ma zachodzić dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u}\) z przestrzeni liniowej (dziedziny przekształcenia) oraz dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) należącego do ciała, nad którym są obie przestrzenie. Między innymi dlatego pytałem Cię o ciało.

[saszaw90]

Rzeczywiście, początek zdania rozumiem. Kurczę, chyba nie uporam się z tym zadaniem, jakoś nie mogę rozwiązać.

Czyli tu nie da się nic zrobić?

\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)

Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????

[norwimaj]

Jak to się nie da? Ponieważ przekształcenie jest \(\displaystyle{ \mathbb{C}^2\to\mathbb{R}^2}\), to zakładam że przestrzenie są nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Oznacza to że \(\displaystyle{ \mathbb{C}^2}\) jest przestrzenią czterowymiarową a \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) dwuwymiarową.

Liniowość chyba dobrze sprawdzałeś, nie chce mi się dokładnie czytać. Opiera się ona na tym, że

\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(x_1+x_2)=\mathrm{Re}(x_1)+\mathrm{Re}(x_2)}\),

\(\displaystyle{ \mathrm{Im}(y_1+y_2)=\mathrm{Im}(y_1)+\mathrm{Im}(y_2)}\),

oraz

\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(ax)=a \mathrm{Re}(x), \mathrm{Im}(ay)=a \mathrm{Im}(y)}\) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\).

Tutaj istotne jest to, że \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\). Gdyby \(\displaystyle{ a\in\mathbb{C}}\), to nic takiego by nie zachodziło.