Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Witam! Przygotowuję się do egzaminu. Mam następujące pytania oraz bardzo proszę o sprawdzenie dwóch przykładów, czy są dobrze rozwiązane przeze mnie:
Sprawdzić, czy odwzorowanie jest homomorfizmem przestrzeni liniowych. Jeśli jest, to wyznaczyć obraz i jądro. Dla homomorfizmu skonstruować macierz (w bazie kanonicznej).
Edit: Usunąłem pierwszy przykład, gdyż został sprawdzony i przeszkadza.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Drugi przykład:
Tutaj mam problem, bo:
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U)+g(V) = g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] + g \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} rex_1\\im y_1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c} rex_2\\imy_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)
Zgadza się, teraz sprawdzimy drugi warunek:
\(\displaystyle{ g(au) = g(a \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=g(\left[\begin{array}{c} a x_1\\a y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ ag(u) = ag(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=a( \left[\begin{array}{c}re x_1\\im y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)
Z tego co wynika, że g jest homomorfizmem.
Jądro:
\(\displaystyle{ ker g = \left\{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] \in C^2: g \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]}\)
Więc jak mam wyznaczyć jądro?
Obraz:
Czy nie \(\displaystyle{ R^2}\)?
Jak skonstruować tu dla homomorfizmu macierz w bazie kanonicznej? Fajnie byłoby jaśniej i prościej, żeby zrozumiał.
Upsss, ale się rozpisałem, mam nadzieję, że ktoś sprawdzi i mi pomoże.
Będę ogromnie wdzięczny za pomoc.
Sprawdzić, czy odwzorowanie jest homomorfizmem przestrzeni liniowych. Jeśli jest, to wyznaczyć obraz i jądro. Dla homomorfizmu skonstruować macierz (w bazie kanonicznej).
Edit: Usunąłem pierwszy przykład, gdyż został sprawdzony i przeszkadza.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Drugi przykład:
Tutaj mam problem, bo:
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U)+g(V) = g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] + g \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} rex_1\\im y_1\end{array}\right]+ \left[\begin{array}{c} rex_2\\imy_2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}re(x_1+x_2)\\im(y_1+y_2)\end{array}\right]}\)
Zgadza się, teraz sprawdzimy drugi warunek:
\(\displaystyle{ g(au) = g(a \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=g(\left[\begin{array}{c} a x_1\\a y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ ag(u) = ag(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right])=a( \left[\begin{array}{c}re x_1\\im y_1\end{array}\right])= \left[\begin{array}{c}a re x_1\\a im y_1\end{array}\right]}\)
Z tego co wynika, że g jest homomorfizmem.
Jądro:
\(\displaystyle{ ker g = \left\{ \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] \in C^2: g \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ g\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right] = 0\right\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} re x\\im y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]}\)
Więc jak mam wyznaczyć jądro?
Obraz:
Czy nie \(\displaystyle{ R^2}\)?
Jak skonstruować tu dla homomorfizmu macierz w bazie kanonicznej? Fajnie byłoby jaśniej i prościej, żeby zrozumiał.
Upsss, ale się rozpisałem, mam nadzieję, że ktoś sprawdzi i mi pomoże.
Będę ogromnie wdzięczny za pomoc.
Ostatnio zmieniony 24 sty 2012, o 12:23 przez saszaw90, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
W drugim przykładzie masz błąd już w pierwszej linijce. Skoro \(\displaystyle{ g: \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) to \(\displaystyle{ g(x,y) = g(a+bi,c+di)}\).
W pierwszym ogólnie jest ok, choć wypadałoby wskazać konkretne wektory dla których równość \(\displaystyle{ g(U+V)=g(U)+g(V)}\) nie jest spełniona.
W pierwszym ogólnie jest ok, choć wypadałoby wskazać konkretne wektory dla których równość \(\displaystyle{ g(U+V)=g(U)+g(V)}\) nie jest spełniona.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Dziękuje za odpowiedź, w takim razie usunąłem pierwszy przykład, bo za bardzo przeszkadzał i niech skupmy się na drugim przykładzie:
Skoro mówisz, że \(\displaystyle{ g(x,y) = g(a+bi,c+di)}\), to
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????
W takim razie, jak mam to wyznaczyć?
Skoro mówisz, że \(\displaystyle{ g(x,y) = g(a+bi,c+di)}\), to
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????
W takim razie, jak mam to wyznaczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Na początku nasuwa się pytanie. Nad jakim ciałem są te przestrzenie? Jaki jest wymiar tych przestrzeni? Czym są bazy kanoniczne tych przestrzeni? Po odpowiedzi na te pytania łatwiej Ci będzie dokończyć ten przykład.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Ja rozumiem, że te przestrzenie są nad ciałem \(\displaystyle{ C^2 \rightarrow R^2}\).norwimaj pisze:Na początku nasuwa się pytanie. Nad jakim ciałem są te przestrzenie? Jaki jest wymiar tych przestrzeni? Czym są bazy kanoniczne tych przestrzeni? Po odpowiedzi na te pytania łatwiej Ci będzie dokończyć ten przykład.
Jeśli chodzi o bazy kanoniczne, właśnie zwróciłem się do Was o pomoc, gdyż nie wiem i nie robiliśmy tego na zajęciach i nie wiem, jak za to zabrać. Czytałem w google co to jest baza kanoniczna, ale potrzebuję przykładu i wtedy mi jest łatwiej zrozumieć.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Tego nie rozumiem. Znasz definicję przestrzeni liniowej?saszaw90 pisze: Ja rozumiem, że te przestrzenie są nad ciałem \(\displaystyle{ C^2 \rightarrow R^2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
To widocznie źle zrozumiałem. Ale żeby sprawdzić, czy jest homomorfizmem, to muszą spełnić dwa warunki, prawda?
W takim razie, jak tu zrobić:
W takim razie, jak tu zrobić:
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)norwimaj pisze:Prawda. Jaki jest ten drugi warunek?
W związku z tym mam problem z wyznaczaniem, bo mamy \(\displaystyle{ a+bi}\) i \(\displaystyle{ c+di}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Co w warunku
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)
oznacza litera \(\displaystyle{ a}\)?
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)
oznacza litera \(\displaystyle{ a}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Nie wiem, po prostu mam zapisane takie warunki, czyli:norwimaj pisze:Co w warunku
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)
oznacza litera \(\displaystyle{ a}\)?
\(\displaystyle{ g(u+v) = g(u)+g(v)}\)
\(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\)
Nikt nie powiedział, że \(\displaystyle{ a}\) ma jakieś znaczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Masz zapisane takie warunki, ale nikt Ci nie powiedział, co oznaczają poszczególne litery w tych wzorach?
Warunek \(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\) ma zachodzić dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u}\) z przestrzeni liniowej (dziedziny przekształcenia) oraz dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) należącego do ciała, nad którym są obie przestrzenie. Między innymi dlatego pytałem Cię o ciało.
Warunek \(\displaystyle{ g(au)=ag(u)}\) ma zachodzić dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ u}\) z przestrzeni liniowej (dziedziny przekształcenia) oraz dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) należącego do ciała, nad którym są obie przestrzenie. Między innymi dlatego pytałem Cię o ciało.
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 15:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: google
- Podziękował: 72 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Rzeczywiście, początek zdania rozumiem. Kurczę, chyba nie uporam się z tym zadaniem, jakoś nie mogę rozwiązać.
Czyli tu nie da się nic zrobić?
Czyli tu nie da się nic zrobić?
\(\displaystyle{ g: C^2 \rightarrow R^2: g}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right]:=\left[\begin{array}{cc} a+bi\\c+di\end{array}\right]}\)
Niech: \(\displaystyle{ U = \left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g(U+V) = g(\left[\begin{array}{c} x_1\\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} x_2\\y_2\end{array}\right])=g\left[\begin{array}{c} x_1+x_2\\y_1+y_2\end{array}\right]}\) = ????
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Homomorfizm - sprawdzanie, wyznaczanie jądra i obrazu
Jak to się nie da? Ponieważ przekształcenie jest \(\displaystyle{ \mathbb{C}^2\to\mathbb{R}^2}\), to zakładam że przestrzenie są nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Oznacza to że \(\displaystyle{ \mathbb{C}^2}\) jest przestrzenią czterowymiarową a \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) dwuwymiarową.
Liniowość chyba dobrze sprawdzałeś, nie chce mi się dokładnie czytać. Opiera się ona na tym, że
\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(x_1+x_2)=\mathrm{Re}(x_1)+\mathrm{Re}(x_2)}\),
\(\displaystyle{ \mathrm{Im}(y_1+y_2)=\mathrm{Im}(y_1)+\mathrm{Im}(y_2)}\),
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(ax)=a \mathrm{Re}(x), \mathrm{Im}(ay)=a \mathrm{Im}(y)}\) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\).
Tutaj istotne jest to, że \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\). Gdyby \(\displaystyle{ a\in\mathbb{C}}\), to nic takiego by nie zachodziło.
Liniowość chyba dobrze sprawdzałeś, nie chce mi się dokładnie czytać. Opiera się ona na tym, że
\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(x_1+x_2)=\mathrm{Re}(x_1)+\mathrm{Re}(x_2)}\),
\(\displaystyle{ \mathrm{Im}(y_1+y_2)=\mathrm{Im}(y_1)+\mathrm{Im}(y_2)}\),
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{Re}(ax)=a \mathrm{Re}(x), \mathrm{Im}(ay)=a \mathrm{Im}(y)}\) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\).
Tutaj istotne jest to, że \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\). Gdyby \(\displaystyle{ a\in\mathbb{C}}\), to nic takiego by nie zachodziło.