Pole powierzchni równoległoboku

Funin · Post autor: **Funin** » 23 sty 2012, o 20:30

Witam. Dostałem zadanie i nie wiem jak do końca je rozwiązać.
Polecenie:
Oblicz pole powierzchni równoległoboku o bokach:
\(\displaystyle{ a = 2i + 3j - k}\)
\(\displaystyle{ b = i - j + k}\)
Wykorzystaj iloczyn wektorowy.

W pierwszej kolejności obliczyłem wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&3&-1\\1&-1&1\end{array}\right]}\)

Wyznacznik = \(\displaystyle{ 2i - 3j - 5k}\)

I pytanie, co teraz? Slyszalem ze mam obliczyć długość wektoru ktory mi wyszedł z wyznacznika... ale że jak? : /

Z góry bardzo dziękuję!!

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 23 sty 2012, o 21:09

Jakie są współrzędne tego iloczynu wektorowego? OK. To umiesz zrobić. Policz długość tego wektora.

Funin · Post autor: **Funin** » 23 sty 2012, o 21:14

Ehh jestem nie kumaty...
Współrzędne tego wektoru = wyznacznik tak?
Ale do czego mi to potrzebne, skoro wzór na długość wektoru to
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}\)

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 23 sty 2012, o 21:15

Długość wektora.
To, co Ci wyszło, to inaczej \(\displaystyle{ (2,-3,-5)}\). Długość to pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2 ^{2}+(-3) ^{2}+(-5) ^{2} }= \sqrt{38}}\). Podejrzewam, że chcesz skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d _{1}d _{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ d _{1},d _{2}}\) to długości przekątnych równoległoboku. Więc długość \(\displaystyle{ d _{1}}\) już masz, \(\displaystyle{ d_{2}}\) obliczysz podobnie, wszystko gra

Funin · Post autor: **Funin** » 23 sty 2012, o 21:21

Hmm jak tak na to patrząc to logiczne. Ale jakie dane biore do d2?

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 23 sty 2012, o 21:35

Te same, tylko zwrot zmieniasz Bo przecież iloczyn wektorowy wyznacza Ci wektor leżący na przekątnej dwóch wektorów (narysuj sobie to). Więc żeby dostać tę drugą przekątną, trzeba wziąć jeden z wektorów normalnie, a drugi przeciwny (to też sobie narysuj). Technicznie rzecz biorąc to ma jakiś związek ze zmienianiem kolejności wierszy w wyznaczniku z tego co pamiętam

Funin · Post autor: **Funin** » 23 sty 2012, o 21:38

jaki zwrot? ; o ze + z - zamieniam?

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 23 sty 2012, o 21:49

No tak. Jeśli wektor ma współrzędne powiedzmy \(\displaystyle{ (3,5,-6)}\), to wektor przeciwny ma \(\displaystyle{ (-3,-5,6)}\). A w praktyce wiąże się to po prostu z zamianą kolejności wierszy w wyznaczniku.

Funin · Post autor: **Funin** » 23 sty 2012, o 21:54

Ale to bez sensu bo przecież pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych wyjdzie taki sam jak w d1

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 23 sty 2012, o 21:59

A narysowałeś sobie to? Bo zauważ, że w zależności od tego, który wektor zmienisz na przeciwny, dostaniesz inną przekątną lub po prostu przeciwną do już policzonej Chyba, że jest to kwadrat, wtedy wyszło co trzeba (ale wątpię). Polecam sobie rozrysować jeszcze raz, naprawdę wtedy wszystko widać ładnie.

Funin · Post autor: **Funin** » 24 sty 2012, o 00:35

ehh nie rozumiem...

Wojtolino · Post autor: **Wojtolino** » 24 sty 2012, o 21:25

Wrzuciłem obrazek. Obczaj go sobie dokładnie. Oczywiście \(\displaystyle{ d_{1}}\) i \(\displaystyle{ -d_{1}}\) mają te same długości, tylko skierowane są przeciwnie.