Wyznaczanie jądra

[saszaw90]

Witam! Ostatnio nie było mnie na zajęciach, więc zdobyłem notatki. Nie rozumiem tych działań, nie wiem, czy kolega źle przepisał, czy ja nie rozumiem.

Chodzi o wyznaczanie jądra homomorfizmu:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x + 2y + 0z\\0x + y + 2z\\4x+2y+2z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\0&1&2&0\\4&2&2&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\0&1&2&0\\0&-6&2&0\end{array}\right]}\)

Więc
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x + 2y=0\\ \frac{1}{2}y + z = 0\\4y+2=0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ x = 5 \alpha}\)
\(\displaystyle{ y = \alpha}\)
\(\displaystyle{ z = 3 \alpha}\)
a \(\displaystyle{ ker g = lim \left[\begin{array}{c} 5\\ 1\\3\end{array}\right]}\)

Zakładam, że jest tu błąd. Tylko, że nie mogę go znaleźć, może ktoś z Was wiedział. Albo ja coś nie rozumiem. Dlaczego \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ 5 \alpha}\) itd.?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\0&1&2&0\\4&2&2&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\0&1&2&0\\0&-6&2&0\end{array}\right]}\)

Napisanie takiej równości jest nadużyciem. Lepiej tu używać jakiegoś innego symbolu niż "\(\displaystyle{ =}\)".

Więc
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x + 2y=0\\ \frac{1}{2}y + z = 0\\4y+2=0\end{array}\right]}\)

To wygląda jak zapisany układ równań odpowiadający macierzy, ale co się stało z trzecim równaniem?

W tym przykładzie wychodzi zerowe jądro, a to oznacza że wynik jest zły. W takim razie również w rozwiązaniu musi być coś nie tak.

[saszaw90]

Napisanie takiej równości jest nadużyciem. Lepiej tu używać jakiegoś innego symbolu niż "\(\displaystyle{ =}\)".

Wiem, wiem. Nie wiedziałem, jak tu na forum inaczej zapisać.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} x + 2y=0\\ \frac{1}{2}y + z = 0\\4y+2=0\end{array}\right]}\)
To wygląda jak zapisany układ równań odpowiadający macierzy, ale co się stało z trzecim równaniem?

W tym przykładzie wychodzi zerowe jądro, a to oznacza że wynik jest zły. W takim razie również w rozwiązaniu musi być coś nie tak.

Nie wiem, co się stało z trzecim równaniem, dodam jeszcze, że ostatni wiersz macierzy czyli \(\displaystyle{ 0,-6,2,0}\) był skreślony. Niestety nie wiem, dlaczego. Dodam, że to nie kolega rozwiązał to zadanie, tylko ćwiczeniowiec, a kolega po prostu przepisał z tablicy.

Może ktoś będzie wiedział, gdzie tu błąd.

Jeszcze raz podam dokładną treść zadania:

Wyznacz jądro homomorfizmu:
\(\displaystyle{ g: (\mathbb{F}_{7})^3 \rightarrow (\mathbb{F}_7)^3:}\) \(\displaystyle{ g \left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&2&0\\0&1&2\\4&2&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right]}\)

[norwimaj]

Zamiast szukać błędu, lepiej w tym wypadku rozwiązać od początku poprawnie. Chcemy znaleźć jądro, czyli rozwiązać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&2\\4&2&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\).

Robimy to wykonując operacje elementarne na wierszach macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&2&0\\4&2&2&0\end{bmatrix}}\).

Od trzeciego wiersza odejmujemy drugi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&2&0\\4&1&0&0\end{bmatrix}}\).

Do pierwszego dodajemy trzeci pomnożony przez \(\displaystyle{ -2}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-7&0&0&0\\0&1&2&0\\4&1&0&0\end{bmatrix}}\).

Dalej pierwszy wiersz mnożymy przez \(\displaystyle{ -\frac17}\), następnie do trzeciego dodajemy pierwszy pomnożony przez \(\displaystyle{ -4}\), itd. W końcu dostajemy że układ równań jest równoważny układowi

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\),

czyli \(\displaystyle{ x=y=z=0}\).

[saszaw90]

Bardzo Ci dziękuje norwimaj, rzeczywiście tak miało być. Doskonale rozumiem. A może ćwiczeniowiec inaczej to zrobił, bo wziął pod uwagę \(\displaystyle{ g: (\mathbb{F}_{7})^3 \rightarrow (\mathbb{F}_7)^3}\). Może to ma jakieś znaczenie. Sam nie wiem, ale tak Ci dziękuje

[norwimaj]

Ach faktycznie. Skoro \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\), to nie można pomnożyć przez \(\displaystyle{ -\frac17}\). W takim razie jądro będzie jednowymiarowe.

[saszaw90]

Ach faktycznie. Skoro \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\), to nie można pomnożyć przez \(\displaystyle{ -\frac17}\). W takim razie jądro będzie jednowymiarowe.

Czyli wcześniej było dobrze?

Rozumiem na czym polega \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\), tylko nie widzę, że jest dobrze.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&0&0\\0&1&2&0\\0&-6&2&0\end{array}\right]}\)

W \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\) jest równość \(\displaystyle{ -6=1}\), więc drugi i trzeci wiersz są takie same i można jeden z nich wykreślić. Po zapisaniu tego jako układ równań mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 2y=0\\ \frac{1}{2}y + z = 0.\end{cases}}\)

Drugie równanie można inaczej zapisać jako \(\displaystyle{ 4y+z=0}\), co w zapisie może wyglądać jak \(\displaystyle{ 4y+2=0}\).

[saszaw90]

Ooo, już powoli się wyjaśnia. No tak, dlatego było skreślone. Dzięki.

Mam pytanie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w równaniu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 2y=0\\ \frac{1}{2}y + z = 0.\end{cases}}\)
wzięła, bo podzieliśmy przez \(\displaystyle{ 2}\)?

A mógłbyś wyjaśnić, o co chodzi z drugim równaniem?

Drugie równanie można inaczej zapisać jako \(\displaystyle{ 4y+z=0}\), co w zapisie może wyglądać jak \(\displaystyle{ 4y+2=0}\).

Skąd się to wzięło?

[norwimaj]

Stąd że \(\displaystyle{ \frac12=4}\).

[saszaw90]

Stąd że \(\displaystyle{ \frac12=4}\).

Przepraszam, niestety nie bardzo rozumiem.

A czy nie powinno być tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 2y=0\\ y + 2z = 0\end{cases}}\)?

Edit:
Aaaa, już wiem, dlaczego.

Natomiast mam teraz inne pytanie, bo jest napisane,że \(\displaystyle{ x=5\alpha, y=\alpha, z=3\alpha}\).

Zastanawia mnie to, czemu x wynosi \(\displaystyle{ 5 \alpha}\)?

[norwimaj]

Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) może być dowolne, przyjmujemy \(\displaystyle{ y=\alpha}\). Zatem równanie \(\displaystyle{ x+2y=0}\) zamienia się na \(\displaystyle{ x+2\alpha=0}\), co po odjęciu stronami \(\displaystyle{ 2\alpha}\) daje \(\displaystyle{ x=5\alpha}\).

[saszaw90]

Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) może być dowolne, przyjmujemy \(\displaystyle{ y=\alpha}\). Zatem równanie \(\displaystyle{ x+2y=0}\) zamienia się na \(\displaystyle{ x+2\alpha=0}\), co po odjęciu stronami \(\displaystyle{ 2\alpha}\) daje \(\displaystyle{ x=5\alpha}\).

Dziękuje bardzo. Ostatnie pytanie - chciałbym zrozumieć, czemu \(\displaystyle{ y}\) jest dowolne?

\(\displaystyle{ y}\) jest dowolne, bo w dwóch równaniach występuje i dlatego oznaczamy jako \(\displaystyle{ y= \alpha}\)

[norwimaj]

\(\displaystyle{ y}\) jest dowolne, bo dla dowolnego \(\displaystyle{ y}\) da się znaleźć takie \(\displaystyle{ x,z}\), że trójka \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełnia układ równań.