Znajdź bazę, wymiar przestrzeni

[djmostek]

Witam!
Ponieważ nie potrafię sobię jakoś z suchej teorii wystarczająco przybliżyć tematu przestrzeni liniowych, prosiłbym o w miarę przejrzyste dla laika w tym temacie odpowiedzi.

Dany jest zbiór Z = \(\displaystyle{ \begin{cases}{x\in R}: 3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0\end{cases}}\)

a) Sprawdź czy Z = \(\displaystyle{ L\left(\begin{bmatrix} 1\\3\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\2\\1\end{bmatrix} \right)}\)

b) podaj bazę i przestrzeń Z

Jeśli chodzi o podpunkt a) to po kolei dochodze do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ -x_{2}=-2x_{3}-3x_{1} \\ x_{2}=2x_{3}+3x_{1}}\)

Zatem podstawiam sobie za
\(\displaystyle{ x_{1}= \alpha \\ x_{3}= \beta \\ x_{2} = 3 \alpha + 2 \beta}\)
i wyznaczam \(\displaystyle{ Z=\begin{bmatrix} \alpha \\3 \alpha +2 \beta \\ \beta 0\end{bmatrix} = \alpha
\begin{bmatrix} 1\\3\\0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0\\2\\1\end{bmatrix}}\)

I kompletnie nie mam pojęcia co z tego wnioskować? Jak również jak obliczyć bazę i wymiar przestrzeni Z.

[adambak]

z tego wynika, że przestrzeń \(\displaystyle{ Z}\) jest dwuwymiarowa, tzn rozpinają ją dwa liniowo niezalezne wektory, przykładowo właśnie: \(\displaystyle{ Z=lin\left( \begin{bmatrix} 1\\3\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\2\\1\end{bmatrix}\right)}\).. a więc \(\displaystyle{ Z=lin\left(\begin{bmatrix} 1\\3\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\2\\1\end{bmatrix} \right)}\) to nieprawda (bo jest ich za dużo, a są liniowo niezależne)..