Rozwiązania bazowe układu

[rafaluk]

Dany jest układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+x_2+x_3-x_4=0\\2x_1+2x_2+x_3-x_4=-1\\2x_1+3x_2-2x_4=-1\end{cases}}\)

a) Wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego układu.

b) Podać trzy różne rozwiązania bazowe tego układu, ponumerować je jako \(\displaystyle{ x_B^1,x_B^2,x_B^3}\) zgodnie z niemalejącą sumą ich współrzędnych i sprawdzić, czy pierwsze z nich jest kombinacją liniową pozostałych.




a) Utworzyłem macierz i przekształciłem do postaci takiej:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&-1&|0\\0&1&-2&0&|-1\\0&0&-1&1&|-1\end{array}\right]}\)

Parametry to: \(\displaystyle{ x_3=a, x_4=b}\)

Otrzymałem wynik układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-3a+b+1\\x_2=2a-1\\x_3=a\\x_4=b\end{cases}}\)

No i potem wychodzą głupstwa. Rozwiązanie bazowe dla \(\displaystyle{ x_2=0\wedge x_3=0}\) nie istnieje. Co to oznacza?

[Organek92]

Jestem własnie w trakcie rozwiązywania tego samego zadania i mi wyszło

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-2-2t\\x_2=1+2t\\x_3=1+t\\x_4=t\end{cases}}\)

Przekształciłem to troszkę dalej
Tylko czy moze mi ktoś powiedzieć co to znaczy
ponumerować je jako\(\displaystyle{ x_B^1,x_B^2,x_B^3}\) zgodnie z niemalejącą sumą ich współrzędnych

Podejrzewam że jakaś błaha rzecz lecz nie moge dojśc co mają na myśli...

PS. Czy przygotowujesz sie tez do egzaminu z mamty SGH?

[rafaluk]

Tylko czy moze mi ktoś powiedzieć co to znaczy
ponumerować je jako\(\displaystyle{ x_B^1,x_B^2,x_B^3}\) zgodnie z niemalejącą sumą ich współrzędnych

Pytałem kolegę i on powiedział, że trzeba doprowadzić macierz do takiej postaci, żeby było jak najwięcej różnych kolumn składających się z samych zer i jednej jedynki. Wtedy poziomo odczytujemy równania i wyliczamy z nich iksy. Ale trzeba chyba otrzymać kilka tych rozwiązań bazowych, skoro sumy wyliczonych iksów z każdego równania ma zostać uporządkowana w jakiś sposób...

PS. Czy przygotowujesz sie tez do egzaminu z mamty SGH?

A owszem Pozdro z BUWu

//edit:

Liczba rozwiązań bazowych to: \(\displaystyle{ {n\choose k}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to liczba niewiadomych (kolumn), a \(\displaystyle{ k}\) to liczba parametrów (jak wyliczyć liczbę parametrów?). Czyli w tym przypadku: \(\displaystyle{ {4\choose 1}=4}\)

Jeden parametr, więc jedna zmienna jest równa zero. Zacznijmy od \(\displaystyle{ x_4=t=0}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-2\\x_2=1\\x_3=1\\x_4=0\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ x_3=0\Rightarrow t=-1}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=0\\ x_2=-1\\x_3=0\\x_4=-1\end{cases}}\)

Dla \(\displaystyle{ x_2=0\Rightarrow t=-\frac{1}{2}}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-1\\x_2=0\\x_3=\frac{1}{2}\\x_4=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Otrzymaliśmy trzy rozwiązania bazowe. Dodajemy po kolei i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_B^1=-2+1+1+0=0\\x_B^2=0+(-1)+0+(-1)=-2\\x_B^3=-1+0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1\end{cases}}\)

Zapisujemy je w niemalejącym (rosnącym) ciągu:

\(\displaystyle{ -2,-1,0 \Rightarrow x_B^2,x_B^3,x_B^1}\)

Sprawdzamy, czy pierwszy jest kombinacją liniową pozostałych (czyli nie jest liniowo niezależny):

\(\displaystyle{ x_B^2=a\cdot x_B^3+b\cdot x_B^1 \\ \\ \left[\begin{array}{c}0\\-1\\0\\-1\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}1\\0\\\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}-2\\1\\1\\0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}0\\-1\\0\\-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\0\\\frac{1}{2}a\\-\frac{1}{2}a\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2b\\b\\b\\0\end{array}\right] \\ \begin{cases}0=a-2b\\-1=0+b\\0=\frac{1}{2}a+b\\-1=-\frac{1}{2}a+0\end{cases}}\)

Jeśli układ ma rozwiązania inne niż \(\displaystyle{ a=0\wedge b=0}\), to \(\displaystyle{ x_B^1}\) jest kombinacją liniową pozostałych dwóch. Ojejku...

Jeszcze mam pytanie: jak rozwiązałeś układ?