Udowodnij, że odwzorowanie jest izomorfizmem

[Katarzyna92]

Mógłby ktoś pomóc mi pomóc z tym zadaniem?

Niech \(\displaystyle{ B_{1}=(e_{1},..., e_{n})}\) i \(\displaystyle{ B_{2}=(l_{1},..., l_{n})}\) będą dwiema bazami w \(\displaystyle{ R^{n}}\) i \(\displaystyle{ u= x_{1}e_{1}+...+ x_{n}e_{n}}\)
Udowodnić, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f: R^{n} \rightarrow R^{n}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(u)= x_{1}l_{1}+...+ x_{n}l_{n}}\) jest izomorfizmem.

[Mistrz]

Oczywiście

Nie wiem tylko z czego możesz korzystać. Umiesz zapisać przekształcenie liniowe w postaci macierzy? Wiesz, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n}\) jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz ma niezerowy wyznacznik? I najważniejsze - czy wiesz, co to jest macierz zamieniająca współrzędne między bazami?

[Katarzyna92]

Z tego pierwszego i drugiego wiem jak korzystać, ale nie wiem co to jest macierz zamieniająca współrzędne między bazami.

[Mistrz]

No to tak. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem. Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A,B}}\) będą bazami przestrzeni \(\displaystyle{ K^n}\) nad \(\displaystyle{ K: \mathcal{A} = \{ \alpha_1, ..., \alpha_n \}, \mathcal{B} = \{ \beta_1, ..., \beta_n \}}\). Niech \(\displaystyle{ \phi}\) będzie homomorfizmem tej przestrzeni w nią samą. Wtedy przez \(\displaystyle{ M( \phi )_\mathcal{A}^\mathcal{B}}\) oznaczamy taką macierz, że \(\displaystyle{ \phi (x_1 \alpha_1 + ... + x_n \alpha_n ) = y_1 \beta_1 + ... + y_n \beta_n \Leftrightarrow M( \phi )_\mathcal{A}^\mathcal{B} \cdot (x_1, ..., x_n)^T = (y_1, ..., y_n)^T}\). Konkretniej, jest to taka macierz, że w \(\displaystyle{ j}\)-tej kolumnie tej macierzy stoją współrzędne wektora \(\displaystyle{ \phi( \alpha_j )}\) zapisane w bazie \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\). No więc macierz zamieniająca współrzędne między bazami \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) to \(\displaystyle{ M( id )_\mathcal{A}^\mathcal{B}}\). Mam nadzieję, że Cię to nie przestraszyło, to standardowe narzędzia, jakich uczy się na pierwszym semestrze matematyki na moim wydziale. Musisz jeszcze wiedzieć, że składanie przekształceń odpowiada mnożeniu takich macierzy i że macierze zamieniania współrzędnych są zawsze odwracalne.

Jak tego użyć w Twoim zadaniu: najpierw wypisz, jak wygląda macierz \(\displaystyle{ M(f)_{B_1}^{B_2}}\).

[gblablabla]

Nie prościej zapisać warunek izomorfizmu jako \(\displaystyle{ Kerf = \left\{ \vec{0} \right\}}\)?

Załóżmy, że wektor \(\displaystyle{ u}\) należy do jądra.
\(\displaystyle{ u \in Kerf \Leftrightarrow x_{1}e_{1}+...+ x_{n}e_{n} = \vec{0}}\)
Z liniowej niezależności wektorów bazy \(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} = ... = 0}\) stąd \(\displaystyle{ f(u)= x_{1}l_{1}+...+ x_{n}l_{n} = \vec{0}}\), zatem jądro składa się tylko z jednego elementu (wektora zerowego), a jest to równoważne temu, że odwzorowanie jest izomorfizmem.

[Majeskas]

Zerowe jądro jest warunkiem koniecznym izomorfizmu, ale nie dostatecznym. Jest warunkiem dostatecznym monomorfizmu.

[adambak]

Nie prościej zapisać warunek izomorfizmu jako \(\displaystyle{ Kerf = \left\{ \vec{0} \right\}}\)?

to gwarantuje tylko i wyłącznie różnowartościowość..-- 22 sty 2012, o 21:34 --sorry, nie zauważyłem, że już padła odpowiedź na to pytanie..

[gblablabla]

Ale z wykładu mam zapisane, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest endomorfizmem, i \(\displaystyle{ Kerf = \left\{ \vec{0} \right\}}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest automorfizmem.

Można jeszcze ew. skorzystać z tego: \(\displaystyle{ dim Imf + dim Kerf = n}\), stąd \(\displaystyle{ dim Imf + 0 = n = r(f)}\), co już dowodzi epimorfizmu.

\(\displaystyle{ r(f) = n}\) wtw, gdy odwzorowanie jest epimorfizmem.

[Majeskas]

np.

\(\displaystyle{ \varphi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^3}\)

\(\displaystyle{ \varphi\left( x_1,x_2\right)=\left( x_1,x_2,0\right)}\)

\(\displaystyle{ \ker\varphi=\left\{ \vec 0\right\}}\), ale \(\displaystyle{ \varphi}\) nie jest izomorfizmem, bo nie jest epimorfizmem na \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\).

[gblablabla]

Dlatego istotne jest to, że \(\displaystyle{ f}\) jest też endomorfizmem.

[Majeskas]

Jeśli dołożymy założenie o endomorfizmie, to jest ok.

[norwimaj]

Jeśli ponadto dołożymy założenie o przestrzeni skończenie wymiarowej, to będzie jeszcze bardziej ok.

[gblablabla]

Czym jest przestrzeń skończenie wymiarowa?

[norwimaj]

To taka, która ma skończoną bazę. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) jest taką przestrzenią, więc w tym zadaniu to założenie jest spełnione.

[gblablabla]

A nie trzeba przypadkiem udowodnić jeszcze liniowości tego odwzorowania? Dowód jest prosty.