Układ równań z czterema niewiadomymi.

[Saiti]

Witam, zbliża się kolokwium, z racji hospitalizacji ominąłem 3 tygodnie zajęć, a na kolokwium będzie następujące zadanie:

Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+y+z=1\\
4x+2y-az=2\\
x+y+z=a\end{cases}}\)

Nie do końca łapię, jak się za to zabrać. Potrzebuję pomocy w kategorii rozwiązania z użyciem macierzy. Bardzo proszę conajmniej o naprowadzenie HowTo (nie chodzi mi o samo rozwiązanie, muszę nauczyć się to robić ). Z góry pięknie dziękuję

[Lbubsazob]

Na pewno ma być \(\displaystyle{ -az}\) w drugim równaniu? Bo teraz nie wiem, czy \(\displaystyle{ a}\) mam interpretować jako jedną ze zmiennych, czy jako stałą.

[Saiti]

Tak, na pewno, niestety. Gdyby nie to, dałbym radę Teraz nie wiem jak to rozbijać. W innych przykładach też mam iloczyny niewiadomych

[Lbubsazob]

Wydaje mi się, że po prostu \(\displaystyle{ a}\) jest jakąś stałą. Gdyby to był układ z czterema niewiadomymi, to zapewne każde równanie (albo chociaż jedno) miałoby po lewej stronie 4 składniki, a nie 3. Oczywiście nie mam pojęcia, co autor zadania miał na myśli, ale po prostu wygląda mi to na układ z 3 niewiadomymi: \(\displaystyle{ x,y,z}\). Wtedy, jeżeli się nie pomyliłam w obliczeniach, wyszłoby \(\displaystyle{ \begin{cases} x=1-a \\ y=2a-1 \\ z=0 \end{cases}}\).
A jeżeli rzeczywiście tam są 4 niewiadome, to przy pomocy macierzy raczej nie dałoby się tego rozwiązać. W dodatku trzeba by uzależnić rozwiązanie od dwóch parametrów.

[Michcio2112]

Według mnie x,y,z - niewiadome (3), natomiast a - stała. Trzeba obliczyć rząd macierzy A (czyli lewa strona równania) i rząd macierzy U - dopełnionej (czyli cały układ równań).

Według twierdzenia Kroneckera-Capellego
\(\displaystyle{ rz(A) = rz(U) = n}\) to układ ma dokładnie 1 rozwiązanie
\(\displaystyle{ rz(A) = rz(U) < n}\) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
\(\displaystyle{ rz(A) \neq rz(U)}\) to układ jest sprzeczny
________________________
n - liczba niewiadomych (3)


Jeśli się nie machnąłem w obliczeniach to w tym przypadku rozwiązanie to:
1. \(\displaystyle{ rz(A) = rz(U) < 3}\) dla \(\displaystyle{ a \neq -2}\) (oba rzędy są równe 3), czyli nieskończenie wiele rozw.
2. \(\displaystyle{ rz(A) = rz(U) = 3}\) dla \(\displaystyle{ a = -2}\) (oba rzędy są równe 2), czyli 1 rozw.