Dany jest układ równań z parametrem \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+4x_2+3x_3-2x_4=p\\ -x_1-3x_3=p\end{cases}}\)
a) Czy istnieje wartość parametru, dla której układ jest sprzeczny?
b) Wyznaczyć dwa różne rozwiązania bazowe w zależności od parametru \(\displaystyle{ p}\), a następnie wyznaczyć taką wartość parametru \(\displaystyle{ p}\), by suma tych rozwiązań bazowych była również rozwiązaniem danego układu.
a) Pomyślałem, że układ nie jest sprzeczny, kiedy rząd macierzy utworzonej ze współczynników jest równy rzędowi macierzy utworzonej ze współczynników i wyrazów wolnych. Wyszło mi, że nie jest sprzeczny, bez względu na \(\displaystyle{ p}\).
b) Tutaj mam problem. Wyznaczyłem rozwiązania tego układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-3a-p\\ x_2=\frac{1}{2}(p+b)\\ x_3=a\\ x_4=b\end{cases}}\)
I dwa (z sześciu możliwych) rozwiązania bazowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=-p\\ x_2=\frac{1}{2}p\\x_3=0\\x_4=0\end{cases} \vee \begin{cases}x_1=0\\ x_2=0\\x_3=-\frac{1}{3}p\\x_4=-\frac{1}{2}p\end{cases}}\)
Nie rozumiem fragmentu polecenia: "wyznaczyć taką wartość parametru \(\displaystyle{ p}\), by suma tych rozwiązań bazowych była również rozwiązaniem danego układu."
Czy wszystko zrobiłem dobrze i jak się zabrać za końcówkę drugiego podpunktu?