wyznaczyć wartość k, aby dimV=2

[pncic]

Niech \(\displaystyle{ V=L(\left[ k,0,-1\right], \left[ 1,1,0\right], \left[ k+1,2,-2\right])}\)
będzie taką podprzestrzenią linową przestrzeni R3, że \(\displaystyle{ dimV=2}\).

a) wyznaczyć wartość parametru k.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} k&1&k+1\\0&1&2\\-1&0&-2\end{bmatrix}}\)

wrzuciłem wszystko w macierz i próbowałem przez operacje elementarne, ale nie doszedłem do rozwiązania.

Korzystając z tego,że minor 2 stopnia tej macierzy musi być różny od zera a 3 stopnia równy zero doszedłem do tego, że k=-1. Czy jest to dobry sposób rozwiązania tego zadania? Dałoby się rozwiązać je w inny sposób? Samo założenie, że wyznacznik macierzy utworzonej z tych trzech wektorów musi być równy zero byłoby niewystarczające?

[adambak]

w tym przypadku założenie o wyznaczniku równym zero wystarczy, ale trzeba wiedzieć czemu.. na ogół jest to niewystarczające, ponieważ taka sytuacja jest równoważna temu, że wektory tworzące macierz są liniowo zależne.. czyli ok, ale ile z nich? chcemy żeby tylko jeden był kombinacją liniową pozostałych, więc każdy wynik otrzymany z równania \(\displaystyle{ \det A=0}\) trzeba by jeszcze sprawdzić ręcznie.. ale to też wiele roboty by nie było, bo wyników znowuż nie będzie tak dużo..

ja jednak bym to zrobił po prostu z definicji, chyba najłatwiej.. czy widać, że \(\displaystyle{ \left[ k,0,-1\right]^T}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ 1,1,0 \right]^T}\) są liniowo niezależne? to teraz wystarczy sprawdzić kiedy ten trzeci jest kombinacją liniową tych dwóch z definicji..

[pncic]

dzięki za wyczerpującą odpowiedź!:)