Chciałbym się dowiedzieć czy dobrze stosuję definicję podprzestrzeni. Mamy takie zadanie: Sprawdzić czy zbiór W wszystkich macierzy diagonalnych stopnia 3, jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich macierzy kwadratowych stopnia 3.
Rozwiązanie:
1. Należy sprawdzić czy suma dwóch macierzy diagonalnych st. 3 jest także macierzą diag. st. 3.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}\right]}\) + \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}d&0&0\\0&e&0\\0&0&f\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a+d&0&0\\0&b+e&0\\0&0&c+f\end{array}\right]}\)
oraz
2. Czy macierzy diag. st. 3 pomnożona przez skalar dalej jest taką samą macierzą.
\(\displaystyle{ \alpha \left[\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \alpha a&0&0\\0& \alpha b&0\\0&0& \alpha c\end{array}\right]}\)
Wszystko się zgadza, więc zbiór ten jest podprzestrzenią.
Poprawność sprawdzania czy coś jest podprzestrzenią.
-
gblablabla
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Poprawność sprawdzania czy coś jest podprzestrzenią.
Tak, wystarczy jeszcze dopisać, że otrzymane macierze należą do macierzy diagonalnych stopnia 3., więc należą do określonego zbioru, co dowodzi, że jest on podprzestrzenią.
-
donmaciej
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 25 kwie 2010, o 13:58
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
Poprawność sprawdzania czy coś jest podprzestrzenią.
A masz może pomysł jak sprawdzić czy poniższy zbiór jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ R^{3}}\) ?
\(\displaystyle{ D = \left\{{(x, y, z) : x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1 \right\}}\)
mój standardowy sposób czyli wyznacznie jednej ze wspolrzednych, podstawienie i sprawdzenie czy suma dwoch dowolnych wektorow z D spelnia warunek bedzie tutaj ciezki do zrealizowania
\(\displaystyle{ D = \left\{{(x, y, z) : x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1 \right\}}\)
mój standardowy sposób czyli wyznacznie jednej ze wspolrzednych, podstawienie i sprawdzenie czy suma dwoch dowolnych wektorow z D spelnia warunek bedzie tutaj ciezki do zrealizowania
-
gblablabla
- Użytkownik
- Posty: 420
- Rejestracja: 6 lis 2010, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Clausthal-Zellerfeld
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 25 razy
Poprawność sprawdzania czy coś jest podprzestrzenią.
Ten zbiór podprzestrzenią oczywiście nie jest.
Ustalasz dowolny wektor należący do tej podprzestrzeni (kwantyfikator ogólny - dowolny), \(\displaystyle{ u = (x_{1}, y_{1}, z_{1})}\) oraz dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\).
Pomyśl czy dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) po wyłączeniu przed nawias:
\(\displaystyle{ \alpha ^{2} \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right) \le 1}\)?
Należy posłużyć się konkretnym kontrprzykładem.
Twój sposób jest dobry do udowadniania, że zbiór jest podprzestrzenią, a jak nie chce zadziałać, to spróbuj podać kontrprzykład, posługując się jednym z warunków na podprzestrzeń.
Ustalasz dowolny wektor należący do tej podprzestrzeni (kwantyfikator ogólny - dowolny), \(\displaystyle{ u = (x_{1}, y_{1}, z_{1})}\) oraz dowolny skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\).
Pomyśl czy dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) po wyłączeniu przed nawias:
\(\displaystyle{ \alpha ^{2} \left( x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right) \le 1}\)?
Należy posłużyć się konkretnym kontrprzykładem.
Twój sposób jest dobry do udowadniania, że zbiór jest podprzestrzenią, a jak nie chce zadziałać, to spróbuj podać kontrprzykład, posługując się jednym z warunków na podprzestrzeń.