Wyznaczanie odwzorowania liniowego z Kerf i Imf

[gblablabla]

Skonstruować odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\) wiedząc, że:
a) \(\displaystyle{ Kerf = Lin((1,1,0), (-1,2,0)) \\ Imf = Lin((1,1,-1))}\)
b) \(\displaystyle{ Kerf = \left\{ (x, y, 0) : x, y \in \mathbb{R}\right\} \\ Imf = Lin((0,0,1))}\)

AD a)
\(\displaystyle{ u \in Kerf \Leftrightarrow f(u) = (0, 0, 0) \Rightarrow f(1, 1, 0) = (0, 0, 0), f(-1, 2, 0) = (0, 0, 0)}\)

\(\displaystyle{ w \in Imf \Leftrightarrow \exists u : f(u) = w}\)
I tutaj nie rozumiem swojego zapisu z ćwiczeń:
Niech \(\displaystyle{ u = (0, 0, 1) \notin Kerf \Rightarrow f(u) = (1, 1, -1)}\)?

O co chodzi i jak dokończyć to zadanie?-- 22 sty 2012, o 12:31 --Bardziej pasowałoby mi tu: \(\displaystyle{ w \in Lin(1, 1, -1)}\), nie rozumiem dlaczego dla tego konkretnego wektora odwzorowanie przyjmuje dokładnie tą wartość.

[Katarzyna92]

a)\(\displaystyle{ e_{1}=\left( 1,1,0\right) f\left(e_{1} \right)=\left( 0,0,0\right)}\)

\(\displaystyle{ e_{2}=\left( -1,2,0\right) f\left(e_{2} \right)=\left( 0,0,0\right)}\)
Wybieramy \(\displaystyle{ e_{3}}\) które nie należy do jądra i przyjmujemy, że \(\displaystyle{ f\left(e_{3} \right)=\left(1,1,-1\right)}\)
\(\displaystyle{ e_{1}=\left( 0,0,1\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&2&0\\0&0&1\end{array}\right| \neq 0 \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\)- liniowo niezależne
\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \alpha (0,0,1) + \beta(1,1,0) +\gamma(-1,2,0)}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha=z \\ \beta =\frac{3x+y-z}{3}\\\gamma=\frac{y-z}{3} \end{array}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=z(1,1,-1) +\frac{3x+y-z}{3}(0,0,0)+\frac{y-z}{3} (0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(z,z,-z)}\)

[malgosiem]

jak weźmiemy \(\displaystyle{ e_3=(0,0,1)}\) to dlaczego można przyjąć, że \(\displaystyle{ f(e_3)=(1,1,-1)}\)?
mogłabym prosić o wytłumaczenie? byłabym bardzo wdzieczna

[Sundaybadday]

Mógł by ktoś dopowiedzieć?