Wykazać, że wektory będące rozwiązaniami jednorodnego układu równań \(\displaystyle{ Ax=0}\) tworzą podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Wyznaczyć bazę i wymiar.
Oznaczmy sobie tą podprzestrzeń przez \(\displaystyle{ B}\). Bazę mam już chyba wyznaczoną. Będą to wektory, które są rozwiązaniami tego układu, wymiar \(\displaystyle{ d=n- rk(A)}\).
Uzasadnienie: \(\displaystyle{ B = \ker F}\), \(\displaystyle{ F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k}\). \(\displaystyle{ \dim im(A) = rk(A)}\), \(\displaystyle{ n = \dim \mathbb{R}^n = \dim \ker F + \dim im (A)}\) - stąd dostajemy porządną równość.
Tylko mam 2 pytania:
1. Jak uzasadnić, że tworzą one podprzestrzeń?
2. Dlaczego baza to wektory, które są rozwiązaniami?
Z góry dziękuję za wyjaśnienie.
Pozdrawiam.