Jak wyliczyć postać macierzy Jordana?

[nikodem92]

Niestety nigdzie nie znalazłem opisu w jaki sposób wylicza się postać macierzy Jordana. Proszę o wytłumaczenie w jaki sposób to się robi, najlepiej na konkretnym przykładzie.

Weźmy np. macierz:

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}}\)

Chcemy wyznaczyć macierz: \(\displaystyle{ J = P^{-1}AP}\), gdzie:

\(\displaystyle{ P}\) - pewna macierz nieosobliwa, której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) (za wikipedią) - tu pytanie nr 1: pewna, czyli dowolna (która tylko spełnia warunki: nieosobliwa, której niektórymi...) ?

Ok, to liczymy wartości własne i odpowiadające im wektory.

Wyszła mi jedna wartość własna: \(\displaystyle{ \lambda = 2}\), wektor: \(\displaystyle{ v=[x \ \ x]}\).

Macierz \(\displaystyle{ J}\) ma być postaci:

\(\displaystyle{ J =
\begin{bmatrix}
J_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & J_2 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & J_3 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots & J_n
\end{bmatrix}}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) - wymiar macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Klatki z kolei mają mieć postać:

\(\displaystyle{ J_k =
\begin{bmatrix}
\lambda_k & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda_k & 1 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_k & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_k
\end{bmatrix}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda_k}\) - wartość własna macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału \(\displaystyle{ \left\{ 1,\ldots , n \right\}}\) (tu pytanie nr 2: skąd wiemy, która klatka ma jaki wymiar? Czy tutaj mamy również dowolność? Czy wszystkie klatki mogą być tego samego wymiaru?

Pytanie nr 3: jeśli już wiem jak wygląda macierz \(\displaystyle{ J}\), to jak wyliczyć macierz \(\displaystyle{ P}\)?

Bardzo proszę o odpowiedź na te trzy pytania.

[norwimaj]

Na przekątnej znajdą się wartości \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_1\cdot\lambda_2=\det(A)=4}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2=tr(A)=4}\). Z równości tych wiemy, że \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=2}\). Zatem są dwie możliwości postaci Jordana:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}\)

albo

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}\).

Gdyby zachodziła pierwsza możliwość, to każdy wektor byłby wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) o wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\). Tak jednak nie jest, bo

\(\displaystyle{ A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\).

[nikodem92]

Gdyby zachodziła pierwsza możliwość, to każdy wektor byłby wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\)

Dlaczego? To widać, też podstawiając do wzoru i wyciągając \(\displaystyle{ 2}\) przed macierz Jordana - wtedy \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\) się anihilują, zostaje: \(\displaystyle{ A=2\cdot I}\) - sprzeczność. Więc ten przypadek odpada, ale ciekaw jestem twojego sposobu, z czego to wynika, że każdy wektor byłby wektorem własnym?

Czy zawsze trzeba rozpatrywać wszystkie możliwości postaci macierzy Jordana? (tutaj mamy tylko dwa przypadki, ale dla większych macierzy będzie ich o wiele więcej...)


1. Czy macierz \(\displaystyle{ P}\), dla danej macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest jedyna?
2. Skąd wiemy, która klatka ma jaki wymiar? Czy tutaj mamy również dowolność? Czy wszystkie klatki mogą być tego samego wymiaru?
3. Jeśli już wiemy jak wygląda macierz \(\displaystyle{ J}\), to jak wyliczyć macierz \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\)?

Pozdrawiam.

[norwimaj]

To widać, też podstawiając do wzoru i wyciągając \(\displaystyle{ 2}\) przed macierz Jordana - wtedy \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\) się anihilują, zostaje: \(\displaystyle{ A=2\cdot I}\) - sprzeczność. Więc ten przypadek odpada, ale ciekaw jestem twojego sposobu, z czego to wynika, że każdy wektor byłby wektorem własnym?

Twój sposób jest dobry. Nic istotnie innego nie napiszę.

1. Czy macierz \(\displaystyle{ P}\), dla danej macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest jedyna?

W tym konkretnym przypadku jest jedyna z dokładnością do mnożenia przez stałą. Nie jest to jednak ogólna prawidłowość.

2. Skąd wiemy, która klatka ma jaki wymiar? Czy tutaj mamy również dowolność? Czy wszystkie klatki mogą być tego samego wymiaru?

Rozmiary i liczbę poszczególnych klatek można określić badając rząd macierzy \(\displaystyle{ (A-\lambda\cdot I)^n}\).

3. Jeśli już wiemy jak wygląda macierz \(\displaystyle{ J}\), to jak wyliczyć macierz \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P^{-1}}\)?

Nie podam ogólnego sposobu, bo jest dość długi. W tym wypadku zauważ, że

\(\displaystyle{ (A-2\cdot I)(\mathbb{R}^2) =\mathbb{R}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\).

Jaka więc musi być pierwsza kolumna macierzy \(\displaystyle{ P}\)?

[nikodem92]

Jakaś kolumna macierzy \(\displaystyle{ P}\) musi zawierać wektor własny (dowolna?). Jak będzie wyglądać pierwsza - nie wiem.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ (A-2\cdot I)(\mathbb{R}^2) =\mathbb{R}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\).



\(\displaystyle{ (A-2\cdot I)(\mathbb{R}^2) = (PJP^{-1}-2\cdot I)(\mathbb{R}^2)=\\\\=
P(J-2\cdot I)P^{-1}(\mathbb{R}^2)=P\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}(\mathbb{R}^2)=\\\\=
P\;\mathbb{R}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\mathbb{R}\cdot\left(P\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right)
=\\\\=
\mathbb{R}\cdot(\text{pierwsza kolumna macierzy }P).}\)