Podać postać Jordana macierzy

[nikodem92]

Niech macierz \(\displaystyle{ A}\) ma postać Jordana \(\displaystyle{ A_J}\). Wyznaczyć postać Jordana macierzy:

a) \(\displaystyle{ A^2}\)
b) \(\displaystyle{ A^{-1}}\), jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa.


Ad. a) Wiemy: \(\displaystyle{ A_J = P^{-1}AP}\), czyli \(\displaystyle{ A = PA_J P^{-1}}\).

\(\displaystyle{ A^2 = (PA_J P^{-1})(PA_J P^{-1}) = PA_J^2 P^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A_J^2 = \begin{bmatrix} J_1^2 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & J_2^2 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & J_3^2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & J_n^2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ J_k^2 = \begin{bmatrix} \lambda_k^2 & 2\lambda_k & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_k^2 & 2\lambda_k & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_k^2 & 2\lambda_k & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_k^2 \end{bmatrix}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda_k}\) - wartość własna macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Proszę mi powiedzieć, czy to zadanie jest już rozwiązane? Mnie wydaje się, że tak - podałem postać macierzy Jordana i wartości poszczególnych klatek. Zadanie pochodzi z Kostrikina i tam natomiast w odp. jest:

W każdej klatce występującej w postaci Jordana macierzy \(\displaystyle{ A}\) zastępujemy liczbę \(\displaystyle{ \lambda (\lambda \neq 0)}\) liczbą \(\displaystyle{ \lambda^2}\); jeśli w klatce stopnia \(\displaystyle{ k}\) na głównej przekątnej występuje \(\displaystyle{ 0}\), to dla \(\displaystyle{ k=2l}\) zastępujemy ją dwiema klatkami stopnia \(\displaystyle{ l}\), a dla \(\displaystyle{ k=2l+1}\) dwiema klatkami stopni \(\displaystyle{ l+1}\) i \(\displaystyle{ l}\)

1. Dlaczego musimy rozpatrywać oddzielnie przypadek, gdy jakaś wartość własna jest równa zero? (bo rozumiem, że gdy na głównej przekątnej mamy zero to wtedy wartość własna równa się też zero?)
2. Dlaczego zastępujemy klatkę, w której była wartość własna zero dwiema klatkami (stopni \(\displaystyle{ l}\) lub \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ l+1}\) w zależności od parzystości \(\displaystyle{ k}\)?

Z góry dzięki za odp.

Pozdrawiam!-- 18 sty 2012, o 01:43 --Tylko chwila, wtedy klatki Jordana wyglądają tak jak napisałem, czyli mają niepoprawną postać (ponad przekątną mają być jedynki, reszta zera)... Kostrikin czegoś nie uwzględnił (w co wątpię), czy jest jeszcze jakieś trywialne przejście, którego nawet nie pisał?

[marcinz]

To może przykład na to co zmienia \(\displaystyle{ 0}\). Niech \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}a&1\\0&a\end{array}\right]}\), wtedy \(\displaystyle{ A^2=\left[\begin{array}{cc}a^2&2a\\0&a^2\end{array}\right]}\). Dla \(\displaystyle{ a=0}\) mamy więc od razu postać Jordana, ale dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 1}\)-wymiarową przestrzeń wektorów własnych, więc postać Jordana, to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a^2&1\\0&a^2\end{array}\right]}\).

[nikodem92]

ale dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ 1}\)-wymiarową przestrzeń wektorów własnych, więc postać Jordana, to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a^2&1\\0&a^2\end{array}\right]}\).

Hm, nie rozumiem trochę. Co tzn. jednowymiarową przestrzeń wektorów własnych i jak wyznaczyłeś postać Jordana? (i której macierzy jest to postać Jordana?)

Pozdrawiam.

[marcinz]

Zbiór wektorów własnych odpowiadających ustalonej wartości własnej wraz z \(\displaystyle{ 0}\) tworzy przestrzeń liniową. Wyznaczamy postać Jordana macierzy \(\displaystyle{ A^2}\). Są dwie możliwości: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a^2&1\\0&a^2\end{array}\right]}\) albo \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a^2&0\\0&a^2\end{array}\right]}\). Gdyby zachodziła ta druga ,to każdy wektor byłby wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A^2}\).