Macierz nilpotentna jeśli wszystkie wartości własne równe 0

[nikodem92]

Udowodnić, że macierz \(\displaystyle{ A \in M_n(\mathbb{C})}\) jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne \(\displaystyle{ A}\) są zerami.

Nie wiem jak zrobić to zadanie, proszę o pomoc.

[norwimaj]

Implikacja w prawo jest oczywista. Wystarczy wziąć wektor \(\displaystyle{ v}\) o wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) różnej od zera, i zobaczyć, że \(\displaystyle{ A^nv=\lambda^nv\ne\vec0}\).

Przy implikacji w lewo skorzystaj z postaci Jordana.

[nikodem92]

Ok, czyli w prawo. Rozumiem, że nie wprost? Hp. jest nilpotentna, zeruje się w \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze i nie wszystkie wartości własne \(\displaystyle{ A}\) są zerami. Więc bierzemy wartość własną \(\displaystyle{ \lambda (\lambda \neq 0)}\) i jakiś dowolny jej wektor własny.

\(\displaystyle{ Av = \lambda v}\)

Nie rozumiem tego przejścia: \(\displaystyle{ A^n v = \lambda^n v}\)

W lewo: czyli w macierzy Jordana na przekątnej będziemy mieli same zera. Nad przekątną jakieś jedynki, ale gdy podniesiemy to do pewnej potęgi macierz wyzeruje się... jedynki będą przechodzić coraz wyżej. Tylko hm, jak to udowodnić?

Pozdrawiam.

[norwimaj]

Nie rozumiem tego przejścia: \(\displaystyle{ A^n v = \lambda^n v}\)

To można udowodnić przez indukcję.

krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ A^nv=A^{n-1}(A v) = A^{n-1}(\lambda v) = \lambda\cdot A^{n-1}v=\lambda\cdot \lambda^{n-1}v=\lambda^nv}\).

[nikodem92]

Ok, dzięki.

A jak w drugą stronę? Jak można pokazać, że taka macierz Jordana, która na przekątnej ma same zera, w którejś potędze się wyzeruje?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2,\ldots,v_k}\) będą kolejnymi wektorami z bazy Jordana, odpowiadającymi klatce rozmiaru \(\displaystyle{ k}\) i wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ A^k v_k = A^{k-1} v_{k-1}=\ldots=A^2v_2=Av=\vec{0}}\). Czyli każdy wektor bazowy z tej klatki wyzeruje się po co najwyżej \(\displaystyle{ k}\)-krotnym przyłożeniu macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Stąd wniosek że \(\displaystyle{ A^m\equiv\vec{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) to maksymalny rozmiar klatki, bo dowolny wektor można zapisać w bazie Jordana i każdy składnik tej sumy się wyzeruje.