baza i wymiar przestrzeni

[ct985]

Niech \(\displaystyle{ V_{1}}\) i \(\displaystyle{ V_{2}}\) będą następującymi podprzestrzeniami przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) Znaleźć bazy i wymiar przestrzeni\(\displaystyle{ V_{1}+V_{2}}\)oraz \(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\)

\(\displaystyle{ V_{1}=lin((2,1,3,4),(3,9,3,9),(-1,7,-3,1))
V_{2}=lin((1,-3,3,0),(2,5,3,5),(1,8,0,3))}\)

[Majeskas]

Znajdź układy równań opisujące \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\). Przecięcie tych układów będzie układem opisującym \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\). Mając układ, można wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\).

\(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)}\)

Mając \(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)}\) będzie można obliczyć \(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)}\) i być może okaże się, że mamy do czynienia z sumą prostą przestrzeni \(\displaystyle{ V_1,V_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ V_1\oplus V_2=\mathbb R^4}\).

W przeciwnym razie wpisujemy wszystkie wektory rozpinające \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\) do macierzy, schodkujemy, aż otrzymamy bazę \(\displaystyle{ V_1+V_2}\).

[ct985]

Dziękuję ale nie wiem czy dobrze rozumiem, czyli jeśli chcę wyznaczyć \(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\) to rozwiązuję układ rownań czyli macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&3&4\\3&9&3&9\\-1&7&-3&1\\1&-3&3&0\\2&5&3&5\\1&8&0&5\end{array}\right]}\) schodkuję i dostaję macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&3\\0&1&3&-2\\0&0&-4&3\end{array}\right]}\) później podstawiam do układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b + 3c - 2d=0 \\ -4c+3d=0\\a+3d=0 \end{cases}}\) i stąd baza \(\displaystyle{ (-12,-1,3,4)}\)? Ale czym to się będzie różniło od bazy \(\displaystyle{ V_{1}+V_{2}}\)?

[Majeskas]

Źle mnie zrozumiałaś. W tym momencie znalazłaś bazę \(\displaystyle{ V_1+V_2}\).

Znajdź układy równań opisujące \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\). Przecięcie tych układów będzie układem opisującym \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\). Mając układ, można wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\).

Znaleźć układ równań opisujący przestrzeń znaczy zdecydowanie coś innego niż rozwiązać układ \(\displaystyle{ A\vec x=0}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą złożoną z wektorów bazowych danej przestrzeni.

[ct985]

Ok, czyli to jest baza \(\displaystyle{ V_{1} + V_{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \dim(V_1+V_2)=3}\) czyli \(\displaystyle{ \dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1 + V_2)=3+3-3=3}\) ale jeszcze mam problem z bazą \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\) zgodnie ze wskazówką wyznaczam układ opisujący \(\displaystyle{ V_1}\) ale nie wiem czy dobrze, czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&3&4\\3&9&3&9\\-1&7&-3&1\end{array}\right]}\) schodkuję \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&5&-1&2\\1&-2&2&-1\end{array}\right]}\) stąd układ\(\displaystyle{ \begin{cases} 5b-c+2d=0 \\ a-2b+2c-d=0 \end{cases}}\)teraz baza przestrzeni rozwiązań tego ukladu czyli \(\displaystyle{ (2,1,5,0),(-2,0,0,0),(1,0,2,1)}\) i stąd układ rozwiązań opisujący \(\displaystyle{ V_{1}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y+5z=0 \\ 2x=0 \x+z+w=0 \end{cases}}\)I na tej samej zasadzie \(\displaystyle{ V_2}\). Później część wspolną rozwiązań tych układów.Czy to ma sens, bo nie do końca to rozumiem?

[Majeskas]

Po kolei, bo po drodze pojawiły się błędy.

\(\displaystyle{ V_1+V_2=\textup{lin}\left( \left[ 2,1,3,4\right] ,\left[ 3,9,3,9\right] ,\left[ -1,7,-3,1\right] ,\left[ 1,-3,3,0\right],\left[ 2,5,3,5\right] ,\left[ 1,8,0,3\right] \right)}\)

Wektory wpisujemy w macierz i schodkujemy po to, żeby wyeliminować z tego towarzystwa liniowo zależnych kolegów, bo w bazie mają być wektory liniowo niezależne, więc efektem jest:

\(\displaystyle{ V_1+V_2=\textup{lin}\left( \left[ 1,0,0,3\right],\left[ 0,1,3,-2\right] ,\left[ 0,0,-4,3\right] \right)}\)

To, co znalazłaś, nie jest w żadnym razie układem opisującym \(\displaystyle{ V_1\cap V_2}\). Znajdź bazę \(\displaystyle{ V_1}\), to pomogę Ci znaleźć układ opisujący \(\displaystyle{ V_1}\).