Rząd macierzy - nie metodą minorów.

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 20:03

Przeglądam forum ku dowiedzeniu się czegoś o liczeniu rzędu macierzy metodą Gaussa, ale wciąż nie bardzo rozumiem o co chodzi.

Załóżmy że mamy np. taką macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\-5&-4&-3&-2&-1\\0&0&0&0&0\\1&2&-1&0&1\end{bmatrix}}\)

Nie proszę o rozwiązanie, ale o wyjaśnienie co powinienem po kolei robić żeby wyznaczyć rząd (zaznaczam, metoda minorów nie wchodzi w grę). Widzę że tutaj 3 rząd jest cały złożony z zer, więc jeśli to jakieś ułatwienie, to prosiłbym o wyjaśnienie jak postępować zarówno w takiej sytuacji (z zerami) jak i w przypadku jeśli byłby tam jakieś liczby.

wikipedia mi niestety nie pomogła. Z góry dziękuję za pomoc.

kajus · Post autor: **kajus** » 16 sty 2012, o 20:10

inna, bardzo dobra dobra metoda na liczenie rzędu macierzy to doprowadznie jej do postaci schodkowej, gdzie wykorzystuje się metodę eliminacji Gaussa

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 20:16

no właśnie o to mi chodzi. Mógłbyś to jakoś łaptologicznie wytłumaczyć? Co do znaczy postachi schodkowej?

kajus · Post autor: **kajus** » 16 sty 2012, o 20:28

troche to trudno tak słownie wytłumaczyc lepiej by było pokazać
chodzi o to że masz doprowadzić macierz do takiej postaci zeby kazdy nastepny wiersz miał przynajmniej jedno zero wiecej niż ten poprzedni przy czym liczą sie tylko kolejne zera od lewej krawędzi i jeśli jakiś wiersz składa się z samych zer to te wiersze pod nim też muszą takie być
dwa wiersze nie mogą mieć takiej samej liczby zer
w pierwszym może nie być zer
wtedy te zera tworzą takie schodki stąd nazwa
przykład
\(\displaystyle{ \left[ \begin {array} {ccccc}1&0&3&5&7\\0&0&3&2&1\\0&0&0&3&0 \end {array}\right]}\)
ostatno wiersz to dla nas trzy zera! (liczymy tylko kolejne od lewej strony)

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 20:44

okej, do tego momentu rozumiem. Stworzyły się faktycznie licząc od lewej strony zera. Najpierw jedno, potem dwa i trzy. Tylko pytanie co muszę zrobić teraz, żeby wiedzieć jaki jest rząd?

No i wspomniałeś o tym, że jeśli jakiś wiersz składa się z samych zer to wiersz pod nim także musi. A czy nie mogę tego wiersza gdzie występują same zera po prostu przerzucić na koniec? Nawet jeśli okazałoby się to w trakcie liczenia, po dodawaniu/odejmowaniu wierszy?

kajus · Post autor: **kajus** » 16 sty 2012, o 20:47

tak możesz przerzucić sobie wiersz zerowy na sam koniec
rząd macierzy jest taki ile ma ona niezerowych wierszy w postaci schodkowej, tzn takich, które nie składają się z samych zer
w moim przykładzie \(\displaystyle{ rzA=3}\)

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 21:03

Dzięki wielkie, chciałbym wyjaśnić jeszcze jedną nieścisłość którą znalazłem w innych przykładach.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&0&5\\0&0&7&2\\0&0&0&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Tutaj, zera w pierwszym wierszu nie ma po lewej stronie, a widzę że zasada schodków działa, to musi być po lewej czy nie?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&5&0\\0&1&0&1&3\\0&0&1&2&4\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Tutaj rozumiem że prawo 'schodków' działa od drugiego wiersza bo w pierwszym jest ich za dużo. Czyli w drugim, jedno zero po lewej stronie i schodzimy niżej. Jednak w tym przypadku jest 5 zer w 4 wierszu zamiast 3. Rozumiem, że jeśli jest to OSTATNI wiersz to tych zer może tyle być?

kajus · Post autor: **kajus** » 16 sty 2012, o 21:11

nie dam sobie tutaj ręki uciąć ale jestem prawie pewien że pierwszy element to znaczy \(\displaystyle{ a_{11}}\) nie powinien być zero jeśli tak jest to przestawiamy kolumny tak żeby nie był zerem
ostatni wiersz (albo nawet kilka ostatnich) mogą byś same zerowe to znaczy że rząd macierzy jest mniejszy niż liczba jej wierszy
i jeszcze jedna rzecz:
w kolejnym wierszu nie musi być o jedno zero więcej niż w poprzednim musi być przynajmniej jedno zero więcej tzn jeśli w trzecim masz np 5 zer to w czwartym musi być 6 zer albo więcej (mogą być nawet same zera w całym wierszu) aby nie było ich mniej lub tyle samo
jeśli jest mniej lub tyle samo to przestawiasz wiersze i już masz w niższym wierszu więćej zer
ale się rozpisałem
pozdro

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 21:14

rozumiem, temat uważam za zakmnięty. dzięki wielkie za pomoc.

makan · Post autor: **makan** » 16 sty 2012, o 21:15

Mam nadzieję, że Ci nie zamieszam, ale w każdej chwili przy przekstałcaniu za pomocą operacji elementarnych możesz skorzystać z definicji rzędu macierzy czyli wskazać stopień największego niezerowego minora. W tym przypadku, masz minor 3x3 z niezerowym wyznacznikiem (ten z jedynkami na przekątnej).

Lambda92 · Post autor: **Lambda92** » 16 sty 2012, o 21:35

no właśnie problem w tym, że nie pozwalają nam liczyć z minorów czego... nie rozumiem.

zacząłem robić ten mój przykład i coś mi się nie zgadza

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\-5&-4&-3&-2&-1\\0&0&0&0&0\\1&2&-1&0&1\end{bmatrix}}\)

w1'=w1-w4
w3 <-> w4

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&4&4&4\\-5&-4&-3&-2&-1\\1&2&-1&0&1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

w2'=w2+5w3
poprzestawiałem wiersze żeby były schodkami i wyszło

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&-1&0&1\\0&6&-8&-2&-4\\0&0&4&4&4\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Nasze prawo działa od 2 rzędu, ostatni składa się z samych zer czyli nasz rząd jest równy 2, ale już widzę, że odpowiedź się nie zgadza. Co jest nie tak?

makan · Post autor: **makan** » 16 sty 2012, o 22:04

Jeśli skreślisz wiersz/kolumnę złożoną z samych zer rząd się nie zmieni, więc rząd masz równy trzy. W tym przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&0&5\\0&0&7&2\\0&0&0&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\)
też masz trzy schodki, poziomą kreskę kreślisz nad zerami a potem zliczasz pionowe. Jeśli wiersze zerowe przesuwasz na dół macierzy to rząd będziesz (po wszystkich niezbędnych operacjach) miał równy ilości niezerowych wierszy niezerowych.