przestrzeń afiniczna + baza ortonormalna

[gerla]

1) Wyznaczyć \(\displaystyle{ a _{1} , a _{2} \in R}\) takie, że punkt \(\displaystyle{ Q(-1, 10, -3)}\) jest środkiem ciężkości układu punktów \(\displaystyle{ P _{1} (1, 2, 0)}\) , \(\displaystyle{ P _{2} (2, 0 ,1)}\) o wagach \(\displaystyle{ a _{1} , a _{2}}\) w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ E ^{3}}\)

2) W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) rozważmy standardowy iloczyn skalarny. Wyznaczyć bazę ortonormalną podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) opisanej równaniem
\(\displaystyle{ x _{1} - x _{2} - 2x _{3} + 2x _{4} = 0}\)

w 2) przekształciłam w coś takiego:
\(\displaystyle{ (x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} ) \in U}\)
\(\displaystyle{ (x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} ) = ( x _{2} +2x _{3} - 2x _{4} , x _{2} , x _{3} , x _{4}) = x _{2} (1, 1, 0, 0) + x _{3} (2, 0, 1, 0) + x _{4} (-2, 0, 0, 1)}\)
ale nie wiem czy to mi się do czegoś przyda ..

[lukasz1804]

1) Wystarczy dobrać \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) tak, by spełniona była równość \(\displaystyle{ Q=a_1P_1+a_2P_2}\).

2) Twoje obliczenia doprowadziły do wyznaczenia bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\). Należy teraz skorzystać z twierdzenia o ortogonalizacji Grama-Schmidta i skonstruować na podstawie tej bazy inną bazę, która będzie ortogonalna. Na koniec pozostaje tylko unormować otrzymane w nowej bazie wektory.