Baza i wymiar przestrzeni

[rafaluk]

Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni liniowej rozpiętej na wierszach macierzy \(\displaystyle{ A}\), jeśli

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}1&3&k&-2\\-1&k&1&2\\-2&3&2&-2\\k&-3&-2&2\end{array}\right]}\)

w zależności od parametru \(\displaystyle{ k}\).


Prawdę mówiąc nie wiem w ogóle jak to ugryźć, więc proszę o krótki tutorial.

[kajus]

ogólnie jeśli wyznacznik danej macierzy będzie różny od zera, tzn, że wektory są niezależne liniowo i tworzą bazę o wymiarze \(\displaystyle{ 4}\) jeśli natomiast wyznacznik będzie się równał \(\displaystyle{ 0}\) to znaczy że wektory są zależne liniowo i wymiar przestrzeni jest odpowiednio mniejszy

[rafaluk]

Wyszło mi, że wyznacznik to:

\(\displaystyle{ \det A=-2(k+3)(k^2-k+1)}\)

W takim razie dla \(\displaystyle{ k\neq -3}\) jest \(\displaystyle{ \dim A=4}\), a dla \(\displaystyle{ k=3}\) liczymy dalej. Czy to wystarczy? Co mam dalej robić z tym \(\displaystyle{ k=3}\) i jak wyznaczyć bazę?

[kajus]

podstawiasz \(\displaystyle{ k=3}\) do swojej macierzy i chyba najłatwiej będzie z postaci schodkowej wyznaczyć rząd macierzy
wtedy \(\displaystyle{ rzA=dimV}\)

[rafaluk]

A czym jest \(\displaystyle{ V}\)? "Przestrzenią liniową rozpiętą na wierszach macierzy \(\displaystyle{ A}\)"?