Operator liniowy nieosobliwy, wektory własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
nikodem92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 21 paź 2010, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 18 razy

Operator liniowy nieosobliwy, wektory własne

Post autor: nikodem92 »

Wykaż, że jeśli operator liniowy \(\displaystyle{ f}\) jest nieosobliwy, to operatory \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ f^{-1}}\) mają te same wektory własne.

\(\displaystyle{ f(v)=\lambda_1 v}\). Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ f^{-1}(v)=\lambda_2 v}\). Jak to zrobić? Co to w ogóle oznacza, że operator liniowy jest nieosobliwy? Znalazłem definicję, która mówi, że jest nieosobliwy, gdy ma odwracalny wyznacznik. Co w tym zadaniu jest owym wyznacznikiem?

Z góry dzięki za pomoc.

Pozdrawiam!
szw1710

Operator liniowy nieosobliwy, wektory własne

Post autor: szw1710 »

A jakie są dziedziny operatorów, które rozważasz? Jeśli skończenie wymiarowe, to tak, chodzi o nieosobliwość macierzy odwzorowania, jeśli w dziedzinie i przeciwdziedzinie jest ta sama przestrzeń. Jeśli inne, to raczej chodzi o maksymalny rząd macierzy. Jeśli przestrzenie są niekoniecznie skończenie wymiarowe, to nieosobliwym można by nazwać po prostu odwzorowanie odwracalne. Zauważ, że w przestrzeni skończenie wymiarowej (tej samej w dziedzinie i przeciwdziedzinie) tylko odwzorowania odwracalne mają niezerowy wyznacznik.

\(\displaystyle{ f^{-1}(\lambda_1v)=f^{-1}\bigl(f(v)\bigr)=v,}\)

więc

\(\displaystyle{ \lambda_1 f^{-1}(v)=v.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \lambda_1\ne 0,}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}(v)=\frac{1}{\lambda_1}v}\). Jeśli \(\displaystyle{ \lambda_1=0,}\) to ... Zmęczony jestem. Wektory własnie nie mogą być zerowe. Pokombinuj.
nikodem92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 21 paź 2010, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 18 razy

Operator liniowy nieosobliwy, wektory własne

Post autor: nikodem92 »

Czyli jeśli \(\displaystyle{ \lambda_1=0}\), to musiałoby zachodzić: \(\displaystyle{ f(v) = \lambda_1 \cdot v}\), a więc \(\displaystyle{ f(v)=0}\). Czyli wektor \(\displaystyle{ v \in \ker f}\).
A jądro endomorfizmu jest zerowe. Ale chyba nie każdego? Jeśli jest nieosobliwy to raczej tak, tylko jak to wykazać?
ODPOWIEDZ