Niech \(\displaystyle{ \lambda_1, \ldots \lambda_n}\), będą pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy \(\displaystyle{ A}\). Wyznacz wartości własne:
1. operatora liniowego \(\displaystyle{ X \mapsto AXA^T}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\),
2. operatora liniowego \(\displaystyle{ X \mapsto AXA^{-1}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\), gdzie macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa.
Czyli \(\displaystyle{ \lambda_1, \ldots \lambda_n}\) są wartościami własnymi macierzy \(\displaystyle{ A}\).
Chcemy znaleźć wartości własne operatora liniowego, czyli wszystkie skalary \(\displaystyle{ \lambda}\), które spełniają:
1. \(\displaystyle{ AXA^T = \lambda X}\)
Wiem, że transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych (a macierz odwrotna ma odwrotne wartości własne).
W jaki sposób można to wyliczyć?
Z góry dzięki za pomoc.
Pozdrawiam!