pokazać przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ R_{n}[x] (n \ge 1)}\) jest sumą prosta podprzestrzeni :
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ V_{1} = \left\{ \alpha (x) \in R_{1} [x] \ \ |\ \ \alpha (x) = - \alpha (x),}\) dla każdego x. }
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ V_{2} = \left\{ \alpha (x) \in R_{1} [x] \ \ | \ \ \alpha (-x) = \alpha (x),}\)dla każdego x. \(\displaystyle{ \right\}}\)}
Jest w stanie rozwiązać takie zadanie? (Nie jestem pewien czy w dobrej kategorii umieściłem)
Przestrzeń Wektorowa
-
szw1710
Przestrzeń Wektorowa
W definicji \(\displaystyle{ V_1,V_2}\) powinno być \(\displaystyle{ \alpha(x)\in R_n[x].}\)
Jeśli coś można zagmatwać, świetnym przykładem jest omawiane zadanie, zrozumienie którego wymaga pewnej kultury matematycznej. Koszmarny język, ale sprawa jest trywialna i odpowiadałem już na podobne pytanie. To są uwagi ogólne, nie do autora wątku.
Chodzi o to, że każda funkcja, obojętnie czy to jest wielomian, czy dowolna funkcja, jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. U Ciebie \(\displaystyle{ V_1}\) to wielomiany będące funkcjami nieparzystymi \(\displaystyle{ V_2}\) - parzystymi.
Więc do roboty.
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)
Część parzysta: \(\displaystyle{ f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\)
Część nieparzysta: \(\displaystyle{ f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\)
Mamy trywialnie \(\displaystyle{ f(x)=f_e(x)+f_o(x).}\)
Oczywiście funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest tylko zerowa, więc \(\displaystyle{ V_1\cap V_2=\{0\}}\) (ten singleton oznacza tu funkcję zerową). Zatem suma podprzestrzeni funkcji parzystych i nieparzystych jest prosta.
Teraz w kontekście wielomianów wystarczy powyższe rozważania zastosować do funkcji \(\displaystyle{ f\in R_n[x]}\) będącej wielomianem stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) (tak ten zapis rozumiem), a nie dowolną funkcją. Wielomiany \(\displaystyle{ f_e,f_o}\) leżą w tej samej przestrzeni, co wielomian \(\displaystyle{ f}\), czyli w \(\displaystyle{ R_n[x]}\), ponadto \(\displaystyle{ f_o\in V_1,\;f_e\in V_2,\;f=f_o+f_e\in V_1+V_2=V_1\oplus V_2,}\) a suma jest prosta wobec powyższej uwagi, że tylko funkcja zerowa leży w przecięciu obu podprzestrzeni.
Jeśli coś można zagmatwać, świetnym przykładem jest omawiane zadanie, zrozumienie którego wymaga pewnej kultury matematycznej. Koszmarny język, ale sprawa jest trywialna i odpowiadałem już na podobne pytanie. To są uwagi ogólne, nie do autora wątku.
Chodzi o to, że każda funkcja, obojętnie czy to jest wielomian, czy dowolna funkcja, jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. U Ciebie \(\displaystyle{ V_1}\) to wielomiany będące funkcjami nieparzystymi \(\displaystyle{ V_2}\) - parzystymi.
Więc do roboty.
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)
Część parzysta: \(\displaystyle{ f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}\)
Część nieparzysta: \(\displaystyle{ f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}\)
Mamy trywialnie \(\displaystyle{ f(x)=f_e(x)+f_o(x).}\)
Oczywiście funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest tylko zerowa, więc \(\displaystyle{ V_1\cap V_2=\{0\}}\) (ten singleton oznacza tu funkcję zerową). Zatem suma podprzestrzeni funkcji parzystych i nieparzystych jest prosta.
Teraz w kontekście wielomianów wystarczy powyższe rozważania zastosować do funkcji \(\displaystyle{ f\in R_n[x]}\) będącej wielomianem stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) (tak ten zapis rozumiem), a nie dowolną funkcją. Wielomiany \(\displaystyle{ f_e,f_o}\) leżą w tej samej przestrzeni, co wielomian \(\displaystyle{ f}\), czyli w \(\displaystyle{ R_n[x]}\), ponadto \(\displaystyle{ f_o\in V_1,\;f_e\in V_2,\;f=f_o+f_e\in V_1+V_2=V_1\oplus V_2,}\) a suma jest prosta wobec powyższej uwagi, że tylko funkcja zerowa leży w przecięciu obu podprzestrzeni.