1. operatora różniczkowania w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_n}\)
2. operatora \(\displaystyle{ X \mapsto X^T}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\mathbb{R})}\)
3. macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ P(\sigma)}\) rozmiaru \(\displaystyle{ n \times n}\) zdefiniowanej jako
\(\displaystyle{ P(\sigma)_{ij} = \begin{cases} 1 \mbox{ jeśli } j=\sigma(i), \\ 0 \mbox{ wpp. }, \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma \in S_n}\) jest pewną permutacją,4. macierzy obrotu o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{bmatrix}}\)
5. macierzy \(\displaystyle{ A^T \cdot A}\), gdzie \(\displaystyle{ A = [a_1 \ \ a_2 \ \ \ldots \ \ a_n]}\) .Ad. 1, wektory własne: będą to pewnie wielomiany stopnia zero (bo ich pochodne są równe zeru), a wartości własne to zero. Tylko nie wiem jak to formalnie zapisać?
Ad. 2, wektory własne: macierze symetryczne (wartość własna: \(\displaystyle{ 1}\)), macierze antysymetryczne (wartość własna: \(\displaystyle{ -1}\)). Też nie wiem jak to formalnie zapisać?
Ad. 3, wartości własne: \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy wtw, gdy jest pierwiastkiem jej wielomianu charakterystycznego. Jeśli \(\displaystyle{ \sigma}\) jest permutacją identycznościową, to wartość własna wynosi: \(\displaystyle{ 1}\). A jeśli \(\displaystyle{ \sigma}\) jest jakąś inną permutacją to nawet nie za bardzo wiem, jak policzyć wyznacznik takiej macierzy... Chyba, że istnieje jakiś prostszy sposób?
Ad. 4, wartości własne - wystarczy policzyć pierwiastki wielomianu charakterystycznego. A jak wyliczyć wektory własne?
Ad. 5, jak pomnożymy te dwie macierze (czyli wiersz razy kolumnę), to otrzymamy wartość: \(\displaystyle{ a_1^2 + \ldots + a_n^2}\). Czyli konkretny element ciała, nad którym była ta macierz. Jak zatem wyliczyć wektory i wartości własne?
