rząd macierzy

lubierachowac · Post autor: **lubierachowac** » 15 sty 2012, o 00:16

czy może ktoś wytłumaczyć jak obliczyć rząd macierzy? siedzę właśnie przed tym i nijak nie wiem o co chodzi z dodawaniem wierszy/kolumn. nie można po prostu obliczyć rzędu bez zerowania?

makan · Post autor: **makan** » 15 sty 2012, o 00:23

Można, wystarczy wskazać stopień najwyższego niezerowego minora, ale gdy masz dużą macierz jest sporo do sprawdzania.

lubierachowac · Post autor: **lubierachowac** » 15 sty 2012, o 00:29

czyli np gdy mam macierz 4x4, ( większych nie mam) to musze obliczyć jakąś macierz 3 stopnia zawartą w macierzy 4x4, a potem jakąś macierz 2x2 i przyjąć wyższy stopien?

makan · Post autor: **makan** » 15 sty 2012, o 00:41

Musisz zacząć od macierzy 4x4 jeśli jej wyznacznik jest niezerowy to rząd masz 4. Jeśli jest równy zero to sprawdzasz po kolei wszystkie minory rzędu 3x3 aż dostaniesz niezerowy, wtedy masz rząd 3. Jeśli wszystkie 3x3 są zerowe zaczynasz sprawdzać 2x2. Tak więc taka droga jest dość żmudna.

lubierachowac · Post autor: **lubierachowac** » 15 sty 2012, o 01:09

no ale na czym polega zerowanie? bo ja tego nie rozumiem, dodaje się jakieś wiersze, ale które i jak to nie wiem.

makan · Post autor: **makan** » 15 sty 2012, o 12:35

Operacje elementarne () nie zmieniają rzędu macierzy, wykonujesz je aby dostać tzw. macierz schodkową i wtedy rząd macierzy to liczba schodków. Można też przesuwać (lub skreślać) wiersze złożone z samych zer a rząd macierzy będzie równy ilości niezerowych wierszy. Możesz też patrzeć na to jak na sprowadzanie macierzy za pomocą operacji elementarnych do macierzy trójkątnej (tak jak w metodzie Gaussa), bo metoda jest podobna, ale niekoniecznie musisz mieć macierz kwadratową. A tu przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-3&1\\2&1&-1\\5&-1&-1\\1&-10&4\\1&0&2\end{matrix}\right]\sim
\left[\begin{matrix}1&-3&1\\3&-2&0\\6&-4&0\\-3&2&0\\-1&0&0\end{matrix}\right]\sim
\left[\begin{matrix}1&-3&1\\0&0&0\\0&0&0\\-3&2&0\\-1&0&0\end{matrix}\right]\sim
\left[\begin{matrix}1&-3&1\\0&0&0\\0&0&0\\0&2&-3\\0&0&-1\end{matrix}\right]\sim
\left[\begin{matrix}1&-3&1\\0&2&-3\\0&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\Rightarrow
r(C)=3}\)
Kolejne operacje:
a. dodanie wiersza 1 do wiersza 2 i 3, odjęcie pomnożonego przez 4 wiersza 1 od wiersza 4, odjęcie podwojonego wiersz 1 od wiersza 4
b. dodanie wiersza 4 do wiersza 2, dodanie podwojonego wiersza 4 do wiersza 3
c. zamiana kolumny 1 z 3
d. przesunięcie zerowych wierszy