Wzór analityczny endomorfizmu. Macierz nieosobliwa.

[apurka]

Macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ \varphi}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) w bazie \(\displaystyle{ ( \varepsilon_1 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 )}\) ma postać \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&-1\\-1&0&2\end{bmatrix}}\) .

Wyznaczyć wzór analityczny tego endomorfizmu. Zbadać czy istanieje rzeczywista macierz nieosobliwa \(\displaystyle{ C}\) taka, że \(\displaystyle{ C^{-1} \cdot A \cdot C}\) jest diagonalna. Odpowiedź uzasadnij.

Bardzo prosze o pomoc w rozwiazaniu tego rozwiazania. Ten lub podobny przykład bedzie na egzaminie, niestety na ćwiczeniach nie zdążylismy przerobić całego materiału i nie mam pojecia jak to rozwiązać..

Bedę bardzo wdzięczna za pomoc i wyjasnienie.

Pozdrawiam

[Tomek_Z]

Czym są \(\displaystyle{ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3}\) ? Czy to są wektory bazowe\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)?

[apurka]

Czym są \(\displaystyle{ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3}\) ? Czy to są wektory bazowe\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)?

tak to sa wektory.

[Tomek_Z]

No to najpierw musisz znaleźć macierz przejścia z \(\displaystyle{ ( \varepsilon_1 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3 )}\)do bazy standardowej (choć łatwiej może być znaleźć macierz przejścia z bazy standardowej do tej podanej w treści zadania i odwrócenie jej). Potem skorzystaj z zależności \(\displaystyle{ A'=P^{-1}AP}\).

[apurka]

\(\displaystyle{ Baza standardowa :
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

Mam znaleźć macierz przejścia z ( \varepsilon_1 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 , \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3), do bazy standardowej:

\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}=(-1)\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\\0\\1\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+(-1)\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}

Macierz przejscia C=\begin{bmatrix} 1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}


Nastepnie wyznaczam macierz odwrotna do C i korzystam ze wzoru B=C^{-1}AC

Czy takie rozwiązanie bedzie poprawne??}\)

[Tomek_Z]

Tak, powinno być ok.

[apurka]

Dziekuje bardzo za pomoc