Mógłby mi ktoś pilnie pomóc z poniższym zadaniem...
Dane są podprzestrzenie \(\displaystyle{ U = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} ), W = lin ( \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} )}\) przestrzeni \(\displaystyle{ Z^{4}_{5}}\)
(a) Znajdź układ równań, którego zbiorem rozwiązań jest warstwa \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1\end{bmatrix} + U.}\)
(b) Znajdź bazę przestrzeni \(\displaystyle{ U + W}\).
(c) Znajdź bazę przestrzeni \(\displaystyle{ U\cap W}\)
(d) Wskaz przynajmniej jedna podprzestrzeń \(\displaystyle{ T < Z^{4}_{5}}\) taka, ze \(\displaystyle{ W \oplus T = Z^{4}_{5}}\)
W szczególności zależało by mi na a) i d) - za te nie wiem wogole jak się zabrać i co mam zrobić. Z góry dziękuje!
-- 14 sty 2012, o 21:04 --
rozwiązałam b) tylko mógłby mi ktoś napisac czy poprawnie? oczywiście w \(\displaystyle{ Z_{5}}\)
\(\displaystyle{ U + W = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\3\\4\\3\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\2\\0\\3\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\3\\4\\3\end{bmatrix} ) = lin (\begin{bmatrix} 1\\0\\4\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\4\\1\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\4\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix} ) = lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix} )}\)
czyli wychodzi ze
\(\displaystyle{ U + W = lin ( \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\4\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\4\end{bmatrix})}\)
to jest baza?
\(\displaystyle{ dim U+W = 3}\) ?
-- 14 sty 2012, o 22:09 --
spróbowałam również rozwiązac c) oczywiscie w \(\displaystyle{ Z _{5}}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ U \cap W}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in U \cap W \iff \alpha \in U \wedge \alpha \in W}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in U = lin ( \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} ) \iff \alpha = x \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in W = lin ( \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} ) \iff \alpha = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix}}\)
Przyrównując, otrzymujemy
\(\displaystyle{ x \begin{bmatrix} 1\\2\\4\\3\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\4\end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y=3z+3t\\2x+y=3z+4t\\4x+3y=2z+t\\3x+4y=2z+2t \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y+2y+2t=0\\2x+y+2z+t=0\\4x+3y+3z+4t=0\\3x+4y+3z+3t=0 \end{array}}\)
Rozwiązuje układ:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\2&1&2&1&0\\4&3&3&4&0\\3&4&3&2&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\0&2&3&2&0\\0&0&0&1&0\\0&3&2&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&2&0\\0&1&4&1&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&3&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2&2&0&0\\0&1&4&0&0\\0&0&0&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&4&0&0\\0&1&4&0&0\\0&0&0&1&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+4z=0\\y+4z=0\\z=z\\t+0 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=z\\y=z\\z=z\\t=0 \end{array} ; z \in Z _{5}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \alpha = z \begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3\\4\\1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3z\\3z\\2z\\2z\end{bmatrix}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ U \cap W = { \begin{bmatrix} 3z\\3z\\2z\\2z\end{bmatrix} : z \in Z _{5} } = lin (\begin{bmatrix} 3\\3\\2\\2\end{bmatrix})}\)
i baza
\(\displaystyle{ dim U \cap W = \begin{bmatrix} 1\\1\\4\\4\end{bmatrix} = 1}\) ?
Jest to poprawnie rozwiązane?-- 14 sty 2012, o 22:11 --niestety na tym kończy się moja wiedza i umiejętności
podpunktu a i d nie jestem w stanie zrobić, pomoże ktoś?