Witam! Mam do znalezienia fundamentalny układ rozwiązań poniższego układu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-3y+2z=0\\x-t=0\\-x-3y+2z+2t=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ r(A_u)=r\begin{bmatrix} 1&-3&2&0&0\\1&0&0&-1&0\\-1&-3&2&2&0\end{bmatrix} \xrightarrow{w_2-w_1 \ w_3+w_1}r\begin{bmatrix} 1&-3&2&0&0\\0&3&-2&-1&0\\0&-6&4&2&0\end{bmatrix}\xrightarrow{\frac{w_3}{2}}r\begin{bmatrix} 1&-3&2&0&0\\0&3&-2&-1&0\\0&-3&2&1&0\end{bmatrix}\xrightarrow{w_1+w_2 \ w_3+w_2}r\begin{bmatrix} 1&0&0&-1&0\\0&1&-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)
Widać, że \(\displaystyle{ r(A)=r(A_u)=2}\) więc układ zależy od dwóch parametrów \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=\frac{2}{3}z+\frac{1}{3}t\\z\in\mathbb{R}\\t\in\mathbb{R} \end{cases}}\).
Czyli przestrzeń rozwiązan układu jednorodnego \(\displaystyle{ W_0}\) można zapisać jako:
\(\displaystyle{ W_0=\left\{\left(t, \frac{2}{3}z+\frac{1}{3}t, z, t\right): \ z, t\in\mathbb{R}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} t\\\frac{2}{3}z+\frac{1}{3}t\\z\\t\end{bmatrix}=z\begin{bmatrix} 0\\\frac{2}{3}\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} 1\\\frac{1}{3}\\0\\1\end{bmatrix}}\).
Stąd: \(\displaystyle{ W_0=\mbox{lin}\left\{\left(0, \frac{2}{3}, 1, 0\right), \ \left(1, \frac{1}{3}, 0, 1\right)\right\}}\)
Czy o to chodziło?
PS. Proszę jeszcze o pomoc w tym temacie: 281279.htm
